Dreiecksungleichung euklidischer Betrag, Beweis ok?

Question

Behauptung: Seien \(x,z\in \mathbb{R}^n\), dann ist \( \vert \vert x-z \vert \vert := \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2} \) ist eine Metrik.

Beweis:

\((i)\vert x_i-z_i \vert\leq \vert x_i-y_i \vert+\vert y_i-z_i \vert \\ \leftrightarrow \vert x_i-z_i \vert^2\leq (\vert x_i-y_i \vert+\vert y_i-z_i \vert)^2=\vert x_i-y_i \vert^2+\vert y_i-z_i \vert^2+2\vert x_i-y_i \vert \cdot\vert y_i-z_i \vert \\ \leftrightarrow (x_i-z_i)^2\leq (x_i-y_i)^2+(y_i-z_i)^2+2\sqrt{(x_i-y_i)^2(y_i-z_i)^2}\\ =(x_i-y_i)^2+(y_i-z_i)^2+2(x_i-y_i)(y_i-z_i) \)

\( (( \vert \vert x-y\vert \vert +\vert \vert y-z \vert \vert)^2 = \\(\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}+\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2})^2 =\\\sum \limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+\sum \limits_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2+2\sqrt{(\sum \limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2)\cdot (\sum \limits_{j=1}^{n}(y_j-z_j )^2)}\quad\vert \text{Cauchy-Schwarz-Ungleichung} \\ \geq \sum \limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+\sum \limits_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2+2\sum \limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i )  \overset{\text{(i)}}\geq  \sum \limits_{i=1}^{n} (x_i-z_i)^2= \vert \vert x-z\vert \vert^2  \)

Da für alle \(a,b \in \mathbb{R}^n \vert \vert a-b\vert \vert \) positiv ist, folgt durch Wurzel ziehen die Behauptung.

q.e.d

Comments

Es scheinen x, y und z in der Rechnung vorzukommen. Zu Beginn hast du nur x und y. Ist das ok?

Irgendwo musst du vermutlich noch angeben, was z sein soll / sein darf.

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Hier stand etwas falsches!

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Hi, \(z\in \mathbb{R}^n\).

Die Behauptung: Seien \(x,z\in \mathbb{R}^n\).

\( \vert \vert x-z \vert \vert := \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2}\) ist eine Metrik

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Behauptung nun berichtigt.

Im Beweis musst du dann aber noch erwähnen, was y ist.

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@rc: Warum genau musst du die Dreiecksungleichung nicht zeigen?

Definition einer Metrik: https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum#Formale_Definition

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Ich verstehe erst jetzt, was wirklich gezeigt werden muss. Es soll unter Verwendung der Definition gezeigt werden, dass \(\vert x_i-z_i \vert\leq \vert x_i-y_i \vert+\vert y_i-z_i \vert\).

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@lu @r_c

Danke :)

Auch wenn r_c mich etwas verwirrt hat, habe darüber gegrübelt was ich übersehen haben könnte, dabei lernt man ja auch.

Answer 1

Ich meine, dass beim letzten Schritt von (i) noch Beträge hin müssen

 | 2 (xi−yi)(yi−zi) |. Aber dann im letzten Teil auch, und stimmt doch der

Beweis.

Comments

Der Meinung bin ich inzwischen auch, bei (i) müsste dort 2|(xi−yi)(yi−zi) |, aber jetzt bricht mein Beweis zusammen:

\( 2 \vert \vert x-y\vert \vert \cdot\vert \vert y-z \vert \vert=2\sqrt{(\sum \limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2)\cdot (\sum \limits_{j=1}^{n}(y_j-z_j )^2)}\quad\vert \text{Cauchy-Schwarz-Ungleichung} \\ \geq 2\sqrt{\left(\sum \limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i )\right)^2}=2\vert \sum \limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i)\vert \\ \quad\vert \text{ folgende Abschätzung geht nicht,Widerspruch zur Dreiecksungleichung:} \\  \\ \geq  2 \sum \limits_{i=1}^{n}\vert(x_i-y_i)(y_i-z_i)\vert \)

Oder hänge ich gerade total?

Ich muss wohl nochmal anders abschätzen...

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Also wenn man den Begriff einer Norm kennt, dann folgt es direkt aus folgendem Satz:

Es sei \( \vert \vert . \vert \vert \) eine bel. Norm auf \(\mathbb{R}^n \), definiert man  \(d:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n  \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \) durch
\(d(x,y)= \vert \vert x-y \vert \vert \), so ist \( (\mathbb{R}^n , d) \) ein metrischer Raum.

Beim Beweis nutzt man die Eigenschaften einer Norm.

Konkret:

Nimmt man nun die 2-Norm (https://de.wikipedia.org/wiki/P-Norm#Definition ), dann 
folgt direkt dass für \( x,y\in \mathbb{R}^n \)
\( d(x,y):=\vert \vert x-y \vert \vert _{2} := \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2} \) eine Metrik auf \( \mathbb{R}^n \) bildet, also insbesondere die Dreiecksungleichung erfüllt.