Zeigen Sie, dass f(t)=t^8+at+b höchstens zwei Nullstellen haben kann

Question

Zeigen Sie, dass die Funktion \(f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}, t\mapsto t^8+at+b\) \((a,b\in \mathbb{R})\) höchstens zwei Nullstellen haben kann.

Widerspruchsbeweis:

Man nehme an, dass \(f\) mehr als zwei Nullstellen hat. Seien also o. B. d. A. \(x_1<x_2<x_3<\cdots < x_n\) die Nullstellen der Funktion. Da \(f\) als Polynom stetig auf \(\mathbb{R}\) ist, ist \(f\) stetig auf \([x_1,x_n]\subset \mathbb{R}\). Weiterhin ist \(f\) als Polynom differenzierbar auf \((x_1,x_n)\subset \mathbb{R}\). Nach dem Satz von Rolle existiert nun (mindstens) ein \(\xi \in (x_1,x_n)\) mit \(f'(\xi)=0\).

Nun gilt aber für jedes \(a,b\in \mathbb{R}\), dass \(f'(x)=8t^7+a=0 \Leftrightarrow t^7=-a/8 \Leftrightarrow t=\sqrt[7]{-\frac{a}{8}} \), d. h. es gibt genau ein \(\xi \in (x_1,x_n)\) mit \(f'(\xi)=0\). Es kann also nur maximal zwei Nullstellen geben.

Wäre das so in Ordnung?...

Answer 1

f(t) = t^8 + a·t + b

f'(t) = a + 8·t^7 = 0 --> t = (-a/8)^(1/7)

Da es nur einen Extrempunkt gibt, kann es nur maximal zwei Nullstellen geben.

Ja das wäre so in Ordnung.

Comments

Wenn es genau ein \(\xi \in (x_1,x_n)\) gibt, dann können ja nur zwei \(x,y\in (x_1,x_n)\) exisitieren mit \(f(x)=f(y)\). Ich hoffe, dass das formal so okay ist.

Quelle:

http://info.mathematik.uni-stuttgart.de/Ana2-Poschel-SS18/auf/ana-1-mp-1.pdf

Aufgabe 8

Answer 2

$$f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}, \quad t\mapsto t^8+at+b$$Betrachten wir es mal so:$$t^8+at+b=0\\\Leftrightarrow\\t^8=-at-b$$Ich nehme an, es ist bekannt, wie der Graph der als Funktion betrachteten linken Seite aussieht und wie der Graph der als Funktion betrachteten rechten Seite in Abhängigkeit der Parameter a und b aussehen könnte.

Comments

Wenn man das in der Klausur schreibt, kriegt man vermutlich 0 Punkte. Ich weiß natürlich was du meinst und das ist auch ein schlauer Ansatz, aber zu sagen "Ich nehme an, es ist bekannt wie der Graph aussieht" ist halt nicht formal. Mir gehts es in erster Linie um den Formalismus.

Die meisten Aussagen sind eh "klar" finde ich.