Funktionen auf Achsensymmetrie & Punktsymmetrie überprüfen? f(x)= 3x^5-6x^4+3x^3

Question

Aufgabe:

a) f(x)= 3x⁵-6x⁴+3x³

b) f(x)= 3x³-18x-24x²

Problem/Ansatz:

Wie rechne ich aus, ob diese beiden Funktionen Achsensymmetrisch sind?

Danke euch schon einmal für eure Hilfe.

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Vom Duplikat:

Titel: Funktionen auf Achsensymmetrie überprüfen?Hilfe!

Stichworte: funktion,achsensymmetrie

Aufgabe:

a) f(x)= 3x⁵-6x⁴+3x³

b) f(x)= 3x³-18x-24x²

Problem/Ansatz:

Wie rechne ich aus, ob diese beiden Funktionen Achsensymmetrisch sind?

Danke euch schon einmal für eure Hilfe.

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EDIT: moonlight hat inzwischen Punktsymmetrie in die Frage integriert.

Die beiden Funktionen sind auch nicht punktsymmetrisch bezüglich O(0|0).

Du müsstest an sich auch präzisieren, bezüglich was eine Punkt- / Achsensymmetrie überprüft werden soll.

Bitte Frage nicht mehr ändern, wenn schon Antworten auf die erste Version vorhanden sind.

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Falls du die Funktionen "diskutieren" sollst, musst du nur auf die von der Lehrperson bestimmten/angegebenen Symmetrien prüfen.

Zur Kurvendiskussion (Teilfrage) passt z.B. https://www.mathelounge.de/658273/nullstellen-von-polynomfunktionen-berechnen-bsp-4x-18x-200 mit denselben Funktionen.

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Ich warte immer noch auf eine Reaktion zu https://www.mathelounge.de/658273/nullstellen-von-polynomfunktionen-berechnen-bsp-4x-18x-200?show=658328#c658328

Du darfst ruhig mit den Sternen so lange warten, bis du etwas verstanden hast. Sieht nun leider so aus, als hättest du seit 2017 noch nichts richtig verstanden. https://www.mathelounge.de/452340/bruchgleichungen-textaufgabe-frage

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Entschuldigung aber ich wusste nicht, dass ich verpflichtet dazu bin Sterne zu vergeben.

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Verpflichtet ist niemand :). Wenn du danken willst, kannst du das mit einem Stern tun, ausserdem zeigst du so, dass für dich die Frage erledigt ist.

Es entsteht in deinem Profil der Eindruck, dass du die Antworten gar nicht zur Kenntnis nimmst, wenn dort 55 Fragen und 0% Sterne vergeben steht. 

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Okay, verstanden. Ab sofort werd ich jetzt ordentlich Sterne verteilen ;)

Answer 1

Aloha :)

Bei einer achsensymmetrischen Funktion gilt: \(f(-x)=f(x)\). Das kannst du nachprüfen:

$$f(-x)=3(-x)^5-6(-x)^4+3(-x)^3=-3x^5-6x^4-3x^3\ne f(x)$$$$f(-x)=3(-x)^3-18(-x)-24(-x)^2=-3x^3+18x-24x^2\ne f(x)$$Bei Polynomen erkennt man Achsensymmetrie sehr einfach und schnell daran, dass dafür alle Exponenten gerade sein müssen.

Comments

Ich hätte noch einmal eine Frage. Woran hast du daran erkannt, dass die Funktion nicht achsensymmetrisch ist? Also an -3x3+18x-24x2 ? An den positiven Exponenten?

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Eine achsensymmetrische Funktion hat immer nur gerade Exponenten. Das \(-3x^3\) ist hat bereits einen ungeraden Exponenten, also kann das Polynom nicht achsensymmetrisch sein.

Answer 2

Da bei diesen Polynomfunktionen auch Potenzen mit ungeraden Exponenten existieren, gilt f(x) = f(-x) nicht.

Comments

...  gilt f(x) = -f(x) nicht.

kürzere Begründung :  "Da keine der Funktionen die Nullfunktion ist ..."

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Das Minus sollte natürlich in das Argument.

Answer 3

Da beide Funktionen als höchste Potenz von x eine ungerade Zahl haben kann keine der Funktionen achsensymmetrisch sein.

Wenn eine Ganzrationale Funktion punktsymmetrisch ist müsste sie zu einem Wendepunkt Symmetrisch sein. Ausnahmen bilden lineare und konstante Funktionen.

a)

f(x) = 3·x^5 - 6·x^4 + 3·x^3

f''(x) = 60·x^3 - 72·x^2 + 18·x = 0 --> x = 0 ∨ x = 3/5 ± √6/10

Diese Funktion könnte höchstens eine Punktsymmetrie für x = 0 haben. Das kann man ausschließen, weil für eine Punktsymmetrie zum Ursprung nur ungerade Exponenten von x vorhanden sind.

b)

f(x) = 3·x^3 - 24·x^2 - 18·x

Jede ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Damit braucht man nur den Wendepunkt ermitteln.

f''(x) = 18·x - 48 = 0 → x = 8/3

f(8/3) = - 1456/9

Diese Funktion ist also punktsymmetrisch zum Wendepunkt bei WP(8/3 | - 1456/9).

Sollte nur auf Standardsymmetrie untersucht werden langt es zu sagen: Da gerade und ungerade Exponenten von x gemeinsam auftreten hat die Funktion keine Standardsymmetrie.

Answer 4

a) f(x) = 3x^{5}-6x^{4}+3x^{3} = 3x^{3}*(x^{2}-2x+1) = 3x^{3}*(x-1)^{2}

Wie nun leicht zu sehen ist, gilt f(1)=0, aber f(-1)≠0, so dass der Graph von f weder symmetrisch zum Ursprung noch zur y-Achse sein kann.