Umkehrfunktion in einem gemeinsamen Koordinatensystem darstellen

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Gegeben sind die Funktionen

$$f(x)=0.5\cdot 2^x\\g(x)=-3\cdot 2^{-2x}$$

x∈ℝ

a) Durch welche geometrischen Operationen (Dehnungen, Verschiebungen oder Spiegelungen) gehen die Graphen von f und g aus dem Graphen der Exponentialfunktion zur Basis 2 hervor?

Diese Aufgaben habe ich mit Hilfe eines ähnlichen Beitrages folgenderweise gelöst:

f: 0.5 → Stauchung des Graphen mit dem Faktor 0.5 in y-Richtung
g: -3 → Spiegelung an der x-Achse und Streckung mit dem Faktor 3 in y-Richtung
-2 → Spiegelung an der y-Achse und Stauchung mit dem Faktor 2 in x-Richtung.

b) Bestimmen Sie die Funktionsterme f ^–1(x) und g^–1(x) der Umkehrfunktionen und geben Sie die Funktionen f ^–1 und g^–1 mit ihrem Definitionsbereich an.

y = 0,5 * 2x
2y =  2^x
log₂(2y) = x

f ^-1 (x) =    log₂(2y) = 1 +    log₂(x)

y = -3 * 2 -2x
y/-3 = 2 -2x  = 0,25 * 2^{-x}
(-4/3)*y =  2^{-x} 
 log₂((-4/3)y) = -x         
 x =  -  log₂((-4/3)y)
 g^{-1} (x)  = -  log₂((-4/3)x) 

c) Stellen Sie die Graphen von f und ihrer Umkehrfunktion f ^–1 in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.

d) Stellen Sie die Graphen von g und ihrer Umkehrfunktion g^–1 in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.

Über eine Korrektur und Hilfe zu c) und d) würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

0,5 * 2^x = 2^(x-1)

==> Umk. fkt ist  1+ln(x) / ln(2)

~plot~ 2^(x-+1); 1+ln(x) / ln(2)  ~plot~

Answer 2

b.) und c.)
Du zeichnest f ( x ) und die Winkelhalbierende ( Gerade 45 ° ) ein. Dann spiegelst du die Funktion an der Winkel-halbierenden. Am besten mit einem Geodreieck. Dann hast du f ( x ) und f ^(-1) ( x ).
Dasselbe mit g ( x ).

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Wie im oben eingefügten Koordinatensystem?

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Wie im oben eingefügten Koordinatensystem?

Ja  (dort für f und f^-1)

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Welche Umkehrfunktion würde ich dabei rausbekommen?

Komme leider nicht darauf.

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f ( x ) = 0,5 * 2^x
y = 0,5 * 2^x
Umkehrfunktion : x und y tauschen
x = 0,5 * 2^y
2^y = x / 0.5  | ln ( )
y * ln(2) = ln ( x / 0.5 )
y = ln ( x / 0.5 ) / ln ( 2 )
f ^(-1) ( x ) = ln ( x / 0.5 ) / ln ( 2 )

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f ^(-1) ( x ) = ln ( x / 0.5 ) / ln ( 2 )

$$\dots = \frac{\ln(x)}{\ln(2)} + 1 = \log_2(x)  +1$$s. Antwort von mathef

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Welche Umkehrfunktion würde ich dabei rausbekommen?
Komme leider nicht darauf.

Hallo Werner,
ich denke der Fragesteller wollte auch die HERLEITUNG
für eine Umkehrfunktion haben.

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Vielen Dank!

Wäre das dann so richtig?

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Deine Grafik zeigt die Umkehrfunktion ( rot )
und die Winkelhalbierende
k ( x ) = - x
des 2. und 4. Qudranten

Mathef hat die Funktion f ( x ) und f ^-1 (x)
bereits eingestellt.

Die beiden Funktionen werden üblicherweise
mit der Winkelhalbierenden des 1. und 3.
Quadranten dargestellt da sich die beiden
Funktionen an dieser Geraden spiegeln.

Answer 3

Hallo Daniel,

dann fehlt ja noch g(x)

g(x) = -3 · 2^-2x

Berechnung der Umkehrfunktion:

y = -3 ·  2^-2x

-y/3 = 2^-2x

log₂(-y/3) = -2x

 x = -1/2 · log₂(-y/3)

x↔y (bei der Vorschrift der Umkehrfunktion gibt man x wieder als unabhängige Variable an):

y = -1/2 · log₂(-x/3)      und mit  log_b(x) = ln(x)/ln(b)

g^-1: ℝ^- → ℝ  mit   g^-1(x) = -1/2 · log₂(-x/3) =  - ln(- x/3)/(2·ln(2))

Der Grapph von g^-1 ergibt sich aus dem von g durch Spiegelung an der 1. Winkel- halbierenden

Punkt (x|y) in G_f  →  Punkt (y|x) bei g^-1

Gruß Wolfgang