LGS mit Gauß-Verfahren => Gleichung aufstellen

Question

mir fehlt beim folgenden Beispiel leider der Ansatz wie ich mein Gleichungssystem aufstelle. Das Lösen selbst mit dem Gauß-Verfahren stellt kein Problem dar:

In einem Industriebetrieb soll eine Mischung aus Wasser, Bindemittel und Zuschlagstoffen zu Kleber verarbeitet werden. Folgende Forderungen an die Mischung sind zu berücksichtigen:

Insgesamt sollen 100 kg des Klebers hergestellt werden;
Pro kg verwendeten Bindemittels sind 4 kg Wasser vorgeschrieben;
Es sollen um 55 kg mehr Zuschlagstoffe als Wasser aufgewendet werden;
Formulieren Sie die gestellten Forderungen als lineares Gleichungssystem und bestimmen sie die korrekte Rezeptur für den Kleber (Anteile der Zutaten in kg) mittels Gau-Verfahren.

Wie komme ich hier auf meine 3 Gleichungen?

Danke

Answer 1

Hallo seeker,

Es sind die Mengen von drei Stoffen $w$ Wasser, $b$ Bindemittel und $z$ Zuschlagstoffe zu berechnen,

Insgesamt sollen 100 kg des Klebers hergestellt werden

$$w + b + z = 100$$

Pro kg verwendeten Bindemittels sind 4 kg Wasser vorgeschrieben

$$4b = w \implies -w + 4b = 0$$

Es sollen um 55 kg mehr Zuschlagstoffe als Wasser aufgewendet werden

$$z = w + 55\implies -w + z = 55$$

macht zusammen: $$\begin{pmatrix} 1& 1& 1\\ -1& 4& 0\\ -1& 0& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} w\\ b\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}100 \\ 0 \\ 55 \end{pmatrix}$$Lösung: $w=20$, $b=5$ und $z=75$.

Gruß Werner

Comments

Es geht auch ganz ohne LGS und Gauß:

Wenn man die 55kg mehr an Zuschlagstoffe von den 100kg abzieht, hat man die gleiche Menge Wasser und Zuschlagstoffe. Vom Wasser soll $4$mal so viel in der Mischung sein, wie vom Bindemittel. Damit ergibt sich ein Verhältnis von Bindemittel zu Wasser zu Zuschlagstoffe-55 von $1 \div 4 \div 4$. Das sind in Summe $9$ Teile auf die verbleibenden $100\text{kg} - 55\text{kg} = 45\text{kg}$. Somit haben wir $45\text{kg} \div 9 = 5 \text{kg}$ Bindemittel , das 4-fache - also $5 \text{kg} \cdot4 = 20 \text{kg}$ Wasser und um 55kg mehr Zuschlagstoffe sind $20 \text{kg} + 55\text{kg} = 75\text{kg}$ Zuschlagstoffe.

Answer 2

Die Bestandteile w,b,z

===>

100 kg des Klebers: w+b+z =100

Pro kg verwendeten Bindemittels 4 kg Wasser:

55 kg mehr Zuschlagstoffe als Wasser:

gibt eine Matrix zum Gaussen

$\left(\begin{array}{rrrr}1&-4&0&0\\1&0&-1&-55\\1&1&1&100\\\end{array}\right)$

Answer 3

W + B + Z = 100
W = 4 * B
W + 55 = Z

Ohne Gauß
W + B + W + 55 = 100
2 * W + B = 45
2 * ( 4 * B ) + B = 45
9 * B = 45
B = 5

2 * W + B = 45
2 * W + 5 = 45
W = 20

Z = W + 55
Z = 75

5 + 20 + 75 = 100

Reichlich umständlich
W + B + Z = 100
W - 4 * B + 0 * Z = 0
W + 0 * B - 1 * Z = - 55