Aloha :)
Die Matrix-Multiplikation ist genau dann definiert, wenn die Spalten-Anzahl der linken Matrix gleich der Zeilen-Anzahl der rechten Matrix ist. Wir betrachten daher \(A\in K^{m\times n},B\in K^{n\times p},C\in K^{p\times q}\). Dies sind 3 Matrizen über einem Körper \(K\), deren Spalten-Anzahl und Zeilen-Anzahl so gewählt ist, dass die beiden Matrix-Multiplikationen \((A\cdot B)\in K^{m\times p}\) und \((B\cdot C)\in K^{n\times q}\) definiert sind.
Die Produkt-Matrix \((AB)\) hat p Spalten und kann daher mit der p-zeiligen Matrix \(C\) multipliziert werden. Die Matrix \(A\) hat n Spalten und kann daher mit der n-zeiligen Produkt-Matrix \((BC)\) multipliziert werden:$$(A\cdot B)\cdot C\in K^{m\times q}\;\;;\;\;A\cdot (B\cdot C)\in K^{m\times q}$$Wir wählen ein \(i\in\{1,\ldots,m\}\) und ein \(k\in\{1,\ldots,q\}\) beliebig (aber fest), um alle Matrixelemente der Produkt-Matrix \((A\cdot B)\cdot C\) einzeln zu betrachten:
$$\left[(A\cdot B)\cdot C\right]_{ik}=\sum\limits_{j=1}^p(A\cdot B)_{ij}\cdot C_{jk}=\sum\limits_{j=1}^p\left(\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\cdot B_{lj}\right)\cdot C_{jk}$$Weil alle Matrix-Elemente aus dem Körper \(K\) stammen, gilt das Distributivgesetz:$$=\sum\limits_{j=1}^p\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\cdot B_{lj}\cdot C_{jk}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\cdot\sum\limits_{j=1}^p B_{lj}\cdot C_{jk}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\cdot(B\cdot C)_{lk}$$$$=\left[A\cdot(B\cdot C)\right]_{ik}$$Daher ist die Matrix-Multiplikation assoziativ:$$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot(B\cdot C)$$
