Aussagenlogik: (A ⇒ B) ∧ ¬(B ⇒ A) so umformen, dass nur ∧, ∨ und ¬ vorkommen

Question

Allgemein Aufgabe:

Formulieren Sie die folgenden Aussagen um in dazu äquivalente
Aussagen, die nur mit den Zeichen ∧, ∨ und ¬ auskommen.

Beispiel:

(A ⇒ B) ∧ ¬(B ⇒ A)

Problem/Ansatz:

Bin jetzt bei (¬ A v B) ∧ ¬ (¬ B v A)

Die Frage ist jetzt, wie ich jetzt noch weiter vereinfache oder wie man das nennt

Answer 1

\(\displaystyle(A\Rightarrow B)\wedge\neg(B\Rightarrow A)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow(\neg A\vee B)\wedge\neg(\neg B\vee A)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow(\neg A\vee B)\wedge(B\wedge\neg A)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg A\wedge B\)

Comments

okay da fasst man einfach zsm

Jedoch soll ich hier ¬(A ∨ (A ⇔ B)) auch so weit wie möglich zsm fassen komme dann bis

¬A∧(A ∧ ¬B) v ¬A∧(B∧ ¬A)*

jetzt muss ich das dann ja ausklammern dann Kommt

¬A∧ A v ¬A∧¬B v ¬ A ∧ B v ¬ A∧¬ A raus (oder so ähnlich) jedoch wie löse ich das jetzt auf?

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Bei der ersten Aufgabe kann man es auch weiter umformen bis man zum Ergebnis kommt. Aber in dem Fall ist es gut erkennbar.

Zur zweiten Aufgabe:

Deine Umformung ist nicht ganz richtig. Klammern sind wichtig:

\(\displaystyle\neg(A\vee(A\Leftrightarrow B))\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow(\neg A\wedge(A\wedge B))\vee(\neg A\wedge(B\wedge\neg A))\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\underbrace{(\underbrace{\neg A\wedge A}_{\text{nie wahr}}\wedge B)}_{\text{nie wahr}}\vee(\neg A\wedge B\wedge\neg A)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg A\wedge B\wedge\neg A\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg A\wedge B\)

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okay da fasst man einfach zsm

Jedoch soll ich hier ¬(A ∨ (A ⇔ B)) auch so weit wie möglich zsm fassen komme dann bis

¬A∧(A ∧ ¬B) v ¬A∧(B∧ ¬A)*

jetzt muss ich das dann ja ausklammern dann Kommt

¬A∧ A v ¬A∧¬B v ¬ A ∧ B v ¬ A∧¬ A raus (oder so ähnlich) jedoch wie löse ich das jetzt auf?

Ok hab mir das noch nicht richtig angeschaut aber muss bei dir nicht das

Ok kann irgendwie nicht deins kommentieren also so muss aber nicht bei dir das erste b ¬B sein?

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Ja, es sollte \(\displaystyle\neg A\wedge A\wedge\neg B\) heißen, habe mich da vertippt. Am Ergebnis ändert das aber nichts, da die linke Seite nie wahr ist.

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Ok bei ¬(¬A ∧ (A ∨ B) ⇒ A) habe ich die frage ob ¬ ⇒ auch umdreht?  oder ob es

(¬¬ A v ¬(AvB) ⇒A) bleibt

weil danach wäre es dann ja

(¬¬ A v ¬¬(AvB) v A)

Oder

(A v (AvB) v A) und glaube sehr stark, dass das falsch ist haha

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Da die Implikation in der Klammer steht, muss auch diese negiert werden. Die Negation von \(\displaystyle\Rightarrow\) kannst du über die Umformung herausfinden. Hier mein Rechenweg:

\(\displaystyle\neg(\neg A\wedge(A\vee B)\Rightarrow A)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg(\neg A\wedge\neg(A\vee B)\vee A)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg(\neg A\wedge(\neg A\wedge\neg B)\vee A)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg((\neg A\wedge\neg B)\vee A)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg(\neg A\wedge\neg B)\wedge\neg A\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow(A\vee B)\wedge\neg A\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\underbrace{(A\wedge\neg A)}_{\text{nie wahr}}\vee(B\wedge\neg A)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow B\wedge\neg A\)

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Kollegen meinen haben -A ^ A v B v A =A v B  raus?

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Ohne den Rechenweg kann ich da nicht viel zu sagen. Mit einer Wahrheitstabelle kannst du das aber überprüfen und dabei komme ich auf mein obiges Ergebnis.

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Wie sieht die denn bei dir aus?

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A	B	A∨B	¬A∧(A∨B)	¬A∧(A∨B)⇒A	¬(¬A∧(A∨B)⇒A)
1	0	1	0	1	0
1	1	1	0	1	0
0	0	0	0	1	0
0	1	1	1	0	1

Die Aufgabe finde ich zweideutig gestellt. Ist es ¬(¬A∧((A∨B)⇒A)) oder ¬((¬A∧(A∨B))⇒A), dann können sich auch verschiedene Lösungen ergeben.

Für 1) ¬(¬A∧((A∨B)⇒A)) kommt man dann auf A∨B.

Bei 2) ¬((¬A∧(A∨B))⇒A) ergibt sich B∧¬A.

Zu 2) muss ich meine Rechnung oben korrigieren, da hat sich ein Fehler eingeschlichen:

\(\displaystyle\neg((\neg A\wedge(A\vee B))\Rightarrow A)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg(\neg(\neg A\wedge(A\vee B))\vee A)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg(A\vee\neg(A\vee B)\vee A)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg(A\vee(\neg A\wedge\neg B))\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg((A\vee\neg A)\wedge(A\vee\neg B))\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\underbrace{(\neg A\wedge A)}_{\text{nie wahr}}\vee(\neg A\wedge B)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg A\wedge B\)

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Und die Rechnung zu 1?

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\(\displaystyle\neg(\neg A\wedge((A\vee B)\Longrightarrow A))\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg(\neg A\wedge((\neg(A\vee B))\vee A))\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg((\neg A\wedge\neg(A\vee B))\vee\underbrace{(\neg A\wedge A)}_{\text{nie wahr}})\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg(\neg A\wedge\neg(A\vee B))\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg(\neg A\wedge(\neg A\wedge\neg B))\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow\neg(\neg A\wedge\neg B)\)

\(\displaystyle\Longleftrightarrow A\vee B\)

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⟺¬(¬A∧((¬(A∨B))∨A)) muss das nicht

⟺¬(¬(¬A∧(A∨B))∨A)) sein also die negation for dem ¬A weil und stärker bindet ?

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Würdest du damit nicht auch behaupten, dass \(\displaystyle A\wedge\neg B\Leftrightarrow\neg(A\wedge B)\) gilt? Das stimmt offenbar nicht. Lös die Klammern am besten von innen Schritt für Schritt auf. Als Kontrolle kannst du wieder eine Wahrheitstabelle benutzen.

A	B	A∨B	(¬(A∨B))∨A	¬A∧((¬(A∨B))∨A)	¬(¬A∧((¬(A∨B))∨A))
1	0	1	1	0	1
1	1	1	1	0	1
0	0	0	1	1	0
0	1	1	0	0	1

Wie du siehst gilt ¬(¬A∧((¬(A∨B))∨A))⟺A∨B.

Aber ¬(¬(¬A∧(A∨B))∨A)⟺¬A∧B wegen obiger Rechnung.

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Weißt du zufällig wie man Das Produkt von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist stets durch 24 teilbar. per Induktionsbeweis beweisen kann? Rechte seite ist ja einfach n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/24 aber wie sieht die linke seite aus?

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Stell am besten jede Frage einzeln mit dem Knopf rechts oben "Stell deine Frage". Dann ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass dir jemand antwortet, der die Antwort weiß.

Muss es per Induktion sein? Ansonsten schau mal hier: https://www.mathelounge.de/535208/begrunden-produkt-aufeinanderfolgenden-naturlichen-zahlen