5*4^x+3000=17*4^x-72

Question

Aufgabe:

5*4^x+3000=17*4^x-72

Problem/Ansatz:

Wir nehmen im Mathe Unterricht gerade den Logarithmus durch und als Hausaufgabe bekam ich dieses Beispiel:

5*4^x+3000=17*4^x-72

Nur leider kommt ich einfach nicht auf einen grünen Zweig :(

Könnte mir bitte jemand erklären wie ich dieses Beispiel lösen kann <3

Comments

| +5*4^x+72

wäre die naheliegende, erste Äquivalenzumformung.

Answer 1

⇔ 5*4^x+3000 = 17*4^x-72
⇔ 5*4^x+3072 = 17*4^x
⇔ 3072 = 12*4^x
⇔ 256 = 4^x
⇔ 2^8 = 4^x
⇔ (2^2)^4 = 4^x
⇔ 4 = x

Comments

⇔ 3072 = 12*4^{x}

Aso...

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Der vorletzte Kommentar (von mir) ist Unsinn!

Answer 2

5*4^x+3000 = 17*4^x-72  | -5*4^x

3000=12*4^x-72  | +72

3072 = 12*4^x  | ÷12

256 = 4^x  | in ()

ln(256) = x*ln(4)

x=ln(256)/ln(4)=4

Answer 3

geht auch ohne Logarithmus:

Answer 4

Du kannst doch zunächst mal ganz klassisch vereinfachen $$\begin{aligned} 5\cdot 4^x+3000& =17\cdot4^x-72 && \left| +72\right. \\ 5\cdot 4^x+3072& =17\cdot4^x && \left| -5 \cdot 4^x\right. \\ 3072& =12\cdot4^x && \left| \div 12 \right. \\ 256& =4^x  \end{aligned}$$Der erfahrene Rechner 'sieht' hier schon, dass \(x=4\) ist, aber lass es uns mit dem Logarithmus machen. Ich nehme den 10'er-Logarithmus, da ich davon ausgehe, dass ihr den zuerst durchnehmt. $$\begin{aligned} \log(256) &= \log\left( 4^x\right) \\ \log(256) &= x \cdot \log(4) && \left| \div \log(4)\right. \\ \frac{\log(256)}{\log(4)} &= x\end{aligned}$$und wenn Du das ausrechnest, so kommt \(x=4\) heraus. Bei der ersten Umwandlung im zweiten Teil habe ich davon Gebrauch gemacht, dass $$\log(a^b) = b \cdot \log(a)$$ist. Falls Du Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner