Darf man in der Klausur über die 1.Ableitung die Nullstellen einer Funktion bestimmen?

Question

f(x) = ex +e^(-x) ich habe versucht die nullstellen zu bestimmten über ln, über substituieren, über *e^x aber alles erfolglos. aber wenn ich die nullstellen der 1.ableitung bestimme ? da kommt die richtige nullstelle

Comments

f(x) = ex +e^(-x) 

Wird das richtig dargestellt?

~plot~ e*x +e^(-x) ~plot~

oder meinst du

~plot~ e^x +e^(-x) ~plot~

?

Was willst du hier mit der Ableitung erreichen?

Answer 1

Die Funktion hat keine Nullstelle, da beide Summanden für jedes x positiv sind.

Comments

aber wenn ich die nullstellen der 1.ableitung bestimme ? da kommt die richtige nullstelle

Sicher nicht. Nimm zum Vergleich die Funktionen

f(x)= x²

g(x)=x²+1

h(x)=x²-4

Alle drei Funktionen haben die gleichen Ableitung.

Allerdings hat f(x) eine Nullstelle, g(x) hat gar keine und h(x) hat gleich zwei Nullstellen.

Die erste Ableitung ist für die Nullstellen einer Funktion absolut bedeutungslos.

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Die erste Ableitung ist für die Nullstellen einer Funktion absolut bedeutungslos.

I. A. schon, kommt aber in Spezialfällen auf die Symmetrie an, v. a. bei Polynomen. Beispielsweise liegt die Nullstelle von h' im Mittel der beiden Nullstellen von h

Answer 2

wir haben also \(f(x)=ex+e^{-x}=0\). Erinnere dich daran, dass \(e^{-x}=\frac{1}{e^x}\), multipliziere also mit \(e^x\) und erhalte:$$e\cdot e^x\cdot x+1=0$$ nach den Potenzgesetzen ist nun \(e^x\cdot e^1=e^{x+1}\), also:$$e^{x+1}\cdot x+1=0 \Longleftrightarrow e^{x+1}\cdot x=-1$$ Hierbei kann \(e^{x+1}\) nicht \(-1\) werden und \(x\) wird genau dann \(-1\), wenn \(x=-1\) ist. Wir haben zudem Glück, dass außerdem \(e^{-1+1}=e^0=1\)

Bemerkung:

Da \(f'(-1)=f(-1)=0\), kannst du übrigens folgern, dass es sich bei \(x=-1\) um einen Berührpunkt handelt!

Comments

die funktion berührt die x achse aber bei x =-1 zählt das nicht als nullstelle

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Achso, du sprichst von \(ex+e^{-x}\)? Ich hatte das als \(e^x+e^{-x}\) gedeutet. Dann überarbeite ich meine Antwort!

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Ist übrigens editiert.

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Mir ist der gleiche Irrtum bei der Interpretation des Funktionsterms unterlaufen.

Man kann natürlich mit der ersten Ableitung den Tiefpunkt bestimmen. Falls er auf der x-Achse liegt (so wie hier) hat man mit Glück die Nullstelle gefunden.

Würde  er unter der x-Achse liegen, müsste es wegen des Verhaltens im Unendlichen und wegen der Stetigkeit  zwei Nullstellen geben, die man dann allerdings nur numerisch bestimmen könnte.

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das heißt, weil die efunktion nicht 0 wird, hast du einfach x von hier e^(x+1)⋅x=−1 genommen und = -1 gesetzt?

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Zugegeben, die Nullstellen lassen sich hier nicht algebraisch lösen. Du betrachtest einfach die gekürzte Version \(e^{x+1}\cdot x=-1\) und denkst ein wenig nach (Hmm, welches x kann ich wählen, damit \(e^{x+1}\cdot x\) gleich -1 wird...?). Mathematik kann manchmal eine Mutprobe sein. Traue dich! Meistens sind es in der Schule eh ganzzahlige Lösungen. Du kannst auch einfach mal ein bisschen "Heißer-Kälter" spielen und exemplarisch einsetzen und gucken, für welche deiner gewählten \(x_i\) die Lösung \(-1\) immer näher kommt! Auf formaler Ebene ist diese Idee das "Bisketionsverfahren", was als numerisches Verfahren jedermann von der Essenz versteht.

Answer 3

Nein , über die 1. Ableitung , das sind Extremwerte, das ist etwas anderes . Wenn Du die Nullstellen berechnen willst:

0= e^x +e^(-x) | *e^x

0=e^(2x) +1 |-1

-1=e^(2x) |ln(..)

ln(-1)=2x

Hier siehst Du spätestens , das es keine Nullstelle gibt.