Gruppenhomomorphismus bei zwei unterschiedlichen Verknüpfungen

Question

EDIT: Aufgabe aus Serie 1 zu 1 übernommen: $$\begin{array}{l}{\text { Welche der folgenden Abbildungen sind Gruppenhomomorphismen? }} \\ {\text { (a) } f_{1}: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, z \mapsto 2 z} \\ {\text { (b) } f_{2}: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, z \mapsto z+1} \\ {\text { (c) } f_{3}: \mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathbb{R}^{*}, z \mapsto|z|} \\ {\text { (d) } f_{4}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^{*}, z \mapsto|z|} \\ {\text { (e) } f_{5}: \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}, z \mapsto z^{p}}\end{array}$$

Dann steht noch als Ergänzung: $$\begin{array}{l}{\text { Dabei ist die Verknüpfung in } \mathbb{Z}, \mathbb{C} \text { und } \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \text { jeweils die Addition, in } \mathbb{R}^{*} \text { und } \mathbb{C}^{*}} \\ {\text { jeweils die Multiplikation und } p \text { eine Primzahl. }} \\ {\text { Erinnerung: } \mathbb{R}^{*}=\mathbb{R} \backslash\{0\}, \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C} \backslash\{0\} \text { . }}\end{array}$$ 





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-------------------------------------------- Ursprüngliche Nachricht unten -------------------------------------------
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Gegeben: $$f_{4}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^{*}, \\z \mapsto|z|$$

ist das Gruppenhomomorphismus oder nicht ? 
In \(\mathbb{C}\) ist die Verknüpfung die Addition. 
In \(\mathbb{R}^*\) ist die Verknüpfung die Multiplikation.

Was habe ich gemacht ?

Problem/Ansatz:

(a) Unsicher ob das stimmt.
(b) Das Neutrale Element in \(\mathbb{C}\) ist \((0,0)\). Das neutrale Element in \(\mathbb{R}^*\) ist \(1.\) Kann man die gegebenen Gruppen in der Abbildung dann überhaupt vergleichen ? Denn muss nicht auch das neutrale Element bei beiden gleich sein? 


Besten Dank im Voraus

Answer 1

Denn muss nicht auch das neutrale Element bei beiden gleich sein?

Nein, siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppenhomomorphismus

G und H sind im allgemeinen verschiedene Gruppen.

Die Abbildung f_4 bildet (0,0) ∈ℂ auf 0 ∈ℝ ab.

Also kann f_4 kein gruppenhomomorphismus sein, denn (0,0) müsste auf das neutrale Element 1 abgebildet werden.

Answer 2

Die Abbildung ist nichteinmal wohldefiniert, da \(\mathbb{R}^{\ast} = \mathbb{R}\setminus \{0\}\) (nach üblicher Konvention), das heißt \(f_4(0)\stackrel{?}{=} |0| = 0 \notin\mathbb{R}^{\ast}\) ist nicht definiert. Wenn du mit \(\mathbb{R}^{\ast}\) einfach nur \(\mathbb{R}\) mit Multiplikation meinst, hast du nicht einmal eine Gruppenstruktur.

Abgesehen davon funktionieren die Rechenregeln wie von dir bemerkt hinten und vorne nicht, aber ich hätte mir die nicht einmal angeschaut, bevor ich sichergegangen bin, ob die Abbildung tatsächlich eine wohldefinierte Abbildung zwischen Gruppen ist.

Comments

Das stimmt, limonade müsste seine Aufgabe nochmal überprüfen und gegebenenfalls richtig wiedergeben.

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Also ich gebe mal die Aufgabe oben in den Post neu eingefügt. Wie sieht es jetzt aus ?

Besten Dank im Voraus !