Ableiten von Funktionen

Question

Hallo Ich bräuchte bitte mal kurz Hilfe bei folgendem :

Aufgabe:

Es sei y = y(x) eine Funktion von x. Berechnen Sie die Ableitung y´ = dy/dx für

x²y + y³ = 2

und deren Wert im Punkt (1,1).

Hinweis : Es handelt sich hier um  implizite Funktionen, die sich nicht ( oder nur schwer ) nach der 
gesuchten Variablen auflösen lassen.

Problem/Ansatz:

Das erste was ich getan habe : für jedes y ein y(x) einsetzen 

=> x² * y(x) + (y(x))³ = 2

Nun leite Ich jeden Summanden einzeln nach x ab mittels Produkt- und Kettenregel.

Ableitung :

2x * y(x) + x² * y´(x) + 3*(y(x))² * y´(x)  = 0

Als nächstes setze ich für jedes y´(x)  = dy/dx

=> 2x * y(x) + x² * dy/dx + 3(y(x))² * dy/dx = 0

<=> 2x*y(x) + 2x + 6 y(x) * y´(x)  = 0

Wieder y´(x) = dy/dx

<=> 2x * y(x) + 2x + 6 y(x) * dy/dx = 0

<=> 2x * y(x) +2x + 6 * y´(x) = 0

<=> 2x * y(x)  +2x = 0

<=>  2x * y(x) = -2x

<=> y(x) = -1

Das nun in die Ausgangsformel  x²*y(x) + (y(x))³ = 2 einsetzen  :

- x²  -1 = 2 <=> x² = -3    

Jetzt wüsste Ich nicht mehr weiter oder habe ich generell was falsch gemacht ? 
Hat mich der Text in der Aufgabe zu sehr verwirrt und Ich soll hier einfach nur die Formel nach x ableiten also : 

2x * y= 2  ???

Liebe Grüße mikronewton

Answer 1

Ableitung :

2x * y(x) + x² * y´(x) + 3*(y(x))² * y´(x)  = 0

hätte ich so auch gemacht, dann aber doch nur noch

Ableitung :

 x² * y´(x) + 3*(y(x))² * y´(x)  = -2xy

<=>  y ' (x) * ( x^2 + 3y^2 ) = -2xy

<=>    y ' (x) = -2xy / ( x^2 + 3y^2 )

und an der Stelle (1;1) also

              y ' (1) = -2*1*1 / ( 1 + 3) = -2/4 = - 0,5

Answer 2

x^2 *y +y^3-2=0

allgemein gilt:

y' = - F_x /F_y

_Fx=2xy

_{Fy= x^2+3y^2}

_{eingesetzt = (-2)/4 =-1/2}

Answer 3

$$ x^2 \cdot y + y^3 = 2 $$ lässt sich summandenweise ableiten zu $$ \left(2xy + x^2 \cdot y'\right) + \left(3y^2 \cdot y'\right) = 0, $$ wobei die Produktregel und die Kettenregel zum Einsatz kommt. Umstellen ergibt $$ y' = -\dfrac{2xy}{x^2+3y^2},\quad {x^2+3y^2}\ne0. $$Der Übersicht wegen habe ich die Schreibweise \(y\) statt \(y(x)\) verwendet. Ansonsten ist das der gleiche Weg, den du gehen wolltest.

Bis zu dieser Stelle

2x * y(x) + x² * y´(x) + 3*(y(x))² * y´(x)  = 0

stimmt deine Rechnung noch.