Statistik (Independence)

Question

ich muss zeigen, dass gilt:

p(C | B) p(B | A) p(A) = p (A,C | B)

Nach mehreren verschiedenen Ansätzen kann ich darauf, p(B | A) p(A) umzuwandeln in p(A,B) , was wiederum in p(A | B) p(B) umgewandelt werden kann. Also:

p(C | B) p(B | A) p(A) = p(C | B) p(A,B) = p(C | B) p(A | B) p(B)

Damit das nun p (A,C | B) entspricht (wie gefordert) darf das p(B) dort nicht sein. Gibt es eine Möglichkeit dieses wegzubekommen oder muss ein anderer Ansatz her??

Vielen Dank vorab!

Answer 1

\(\begin{aligned} p\left(C|B\right)\cdot p\left(B|A\right)\cdot p\left(A\right) & =\frac{p\left(C,B\right)}{p\left(B\right)}\cdot\frac{p\left(B,A\right)}{p\left(A\right)}\cdot p(A)\\ & =\frac{p\left(C,B\right)\cdot p\left(B,A\right)}{p\left(B\right)}\\ & =\frac{p\left(\left(C,B\right),\left(B,A\right)\right)}{p\left(B\right)}\\ & =\frac{p\left(\left(C,A\right),B\right)}{p\left(B\right)}\\ & =p\left(C,A|B\right) \end{aligned}\)

Für die Umformung von der zweiten zur dritten Zeile müssen \(C,B\) und \(B,A\) stochastisch unabhängig sein. Dass bei fehlender stochastischer Unabhängigkeit \(p(C | B) p(B | A) p(A) = p (A,C | B)\) nicht mehr gilt, kann man sich klar machen mithilfe des Laplaceexepriments mit Grundmenge

        \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)

und

        \(A = \{1\}, B = \Omega, C = \{1,3,5\}\).