Neue ONB aus alter ONB konstruieren, bestimme die Konstanten

Question

Aufgabe:

Aus drei in der Orthonormalbasis (ONB) \(\displaystyle\{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\}\) gegebenen Vektoren \(\displaystyle\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\) werde eine neue ONB \(\displaystyle\{\vec e_1',\vec e_2',\vec e_3'\}\) konstruiert.

Bestimmen Sie dazu Konstanten \(\displaystyle\gamma,\mu,\nu\) genau so, dass die Vektoren \(\displaystyle\vec b_1=\vec a_1,\vec b_2=\vec a_2+\gamma\vec a_1,\vec b_3=\vec a_3+\mu\vec a_2+\nu\vec a_1\) orthogonal sind.

Problem/Ansatz:

Meine Idee ist es mit dem Gram-Schmidt Verfahren zu arbeiten. Die \(\displaystyle\vec a_i\) sind linear unabhängig, aber nicht normiert. Die Normierung folgt später durch \(\displaystyle\vec e_i'=\frac{\vec b_i}{|\vec b_i|}\). Für \(\displaystyle\vec b_2\) folgt direkt \(\displaystyle\vec b_2=\vec a_2-\frac{<\vec a_2,\vec a_1>}{<\vec a_1,\vec a_1>}\vec a_1\). Analog ist \(\displaystyle\vec b_3=\vec a_3-\frac{<\vec a_3,\vec a_1>}{<\vec a_1,\vec a_1>}\vec a_1+\mu\vec a_2\).

Hier ist nun mein Problem. Im Gram-Schmidt Verfahren müsste statt \(\displaystyle\mu\vec a_2\quad -\frac{<\vec a_3,\vec b_2>}{<\vec b_2,\vec b_2>}\vec b_2\) stehen, also ist das \(\displaystyle\vec a_2\) fehl am Platz. Ich weiß aber nicht wie ich das wegbekomme. Gibt es eventuell noch einen anderen Weg?

Answer 1

Dann nimm doch das was da stehen müsste (also das mit dem b2 ) und setze anschließend für

b2 das Ergebnis ein, das du schon hattest. Dann alles nach a1, a2 , a3 sortieren und fertig.

Comments

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht, danke ^^

Für Interessierte die Lösung:

\(\displaystyle\vec b_2=\vec a_2-\frac{<\vec a_2,\vec a_1>}{<\vec a_1,\vec a_1>}\vec a_1\Longleftrightarrow\vec a_2=\vec b_2+\frac{<\vec a_2,\vec a_1>}{<\vec a_1,\vec a_1>}\vec a_1\).

In \(\displaystyle\vec b_3\) eingesetzt mit \(\displaystyle\mu=-\frac{<\vec a_3,\vec b_2>}{<\vec b_2,\vec b_2>}\) wegen Gram-Schmidt:

\(\displaystyle\vec b_3=\vec a_3-\frac{<\vec a_3,\vec b_2>}{<\vec b_2,\vec b_2>}\vec b_2-\frac{<\vec a_3,\vec b_2>}{<\vec b_2,\vec b_2>}\frac{<\vec a_2,\vec a_1>}{<\vec a_1,\vec a_1>}\vec a_1+\nu\vec a_1\).

Für \(\displaystyle\nu\) folgt direkt mit Gram-Schmidt

\(\displaystyle\nu=-\frac{<\vec a_3,\vec a_1>}{<\vec a_1,\vec a_1>}+\frac{<\vec a_3,\vec b_2>}{<\vec b_2,\vec b_2>}\frac{<\vec a_2,\vec a_1>}{<\vec a_1,\vec a_1>}\).