Tangente an Wurzelfunktion durch Punkt der außerhalb liegt berechnen?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = (9-x^2)^(1/2) und der Punkt P (5 | 0) welcher sich außerhalb befindet.

Berechnen soll man die Gleichung der tangente und den Berührpunkt.

Problem/Ansatz:

Y: f‘(u) * (x-u) + f(u)

f‘(x) = -x*(9-x^2)^(-1/2)

Dann Punkt und Ableitung sowie Funktion in Tangentengleichung einsetzen.

->

0= (-u(9-u^2)^(-1/2) * (5-u) + (9-u^2)^(1/2)

Jetzt würde ich gerne u Berechnen... klappt aber nicht.

Versuche das seit zwei Tagen jeden Tag mehrere Stunden. Habe auch schon auf anderen Plattformen gefragt, hat mir aber alles nicht gebracht, ich bräuchte ganz dringen einen ausführlichen rechenweg.

Das würde mir sehr weiterhelfen.

Answer 1

Dein Ansatz

0= (-u(9-u^2)^(-1/2) * (5-u) + (9-u^2)^(1/2)

ist richtig. Wenn man das umformt

$$\begin{aligned} 0 &= \frac{-u}{\sqrt{9-u^2}} (5-u) + \sqrt{9-u^2} &&\left| \, \cdot \sqrt{9-u^2}\right.  \\ 0 &= -u(5-u) + 9 - u^2 \\ 0 &= -5u + u^2 + 9 -u^2 \\ 0 &= -5u + 9 && \left|\, +5u \right. \\ 5u &= 9 && \left|\, \div 5 \right. \\ u &= \frac 95 = 1,8\end{aligned}$$ erhält man den Berührpunkt \(Q\). Der liegt also bei $$Q(u|f(u)) = Q\left( 1,8 \mid 2,4  \right)$$im Bild sieht das so aus

~plot~ sqrt(9-x^2);{5|0};{5|0};{1.8|2.4};-2.4/(5-1.8)(x-5) ~plot~

Comments

Kathetensatz :  3^2 = u * 5

---

Kathetensatz :  3^2 = x * 5

gut erkannt! Wäre aber nicht auf die Frage des Fragestellers eingegangen. ;-)

---

Thalessatz: Berührpunkt ist Schnittpunkt des Halbkreises y=√(9-x²) 
mit dem Kreis (x-2,5)²+y² =6,25.

(Dieser Kommentar ist auch nicht für den Fragesteller gedacht.)

Anderer Lösungsweg: Tangente ist die Gerade y=m(x-5) mit demjenigen negativen m, für welches die quadratische Gleichung 9-x²=m²(x²-10x+25) genau eine Lösung besitzt.

Erfordert etwas Diskriminatengefummel...

---

Vielen Dank ich habe mich beim umformen nach u sehr schwer getan. Danke danke danke

Oh Gott ich freu mich gerade so sehr.

Könntest du mir eventuell noch die Tangentengleichung ausrechen?

Weil da kommt bei mir auch was seltsames heraus.

Mit unendlich großen Brüchen.:)

---

Weil da kommt bei mir auch was seltsames heraus.

Zeig doch mal deinen Weg.

---

Und so kann es ja nicht stimmen denk ich. Ist ein ziemliches Wirr Warr 

---

Du schreibst etwas von f'(9/5), hast aber deine Funktion f(x)=√(9-x²) überhaupt noch nicht abgeleitet.

Wenn du übrigens 9/5 quadrieren willst, darfst du nicht \( \frac{9^2}{5} \) schreiben.

Verwende Klammern:  \( (\frac{9}{5})^2 \)  oder schreibe gleich 81/25.

---

Du hast als Berührpunkt heraus
( 9/5 | f ( 9/5 )

( 9/5 | 12/5 )
sowie als 2.Punkt der Tangente
( 0 | 5 )

Die Geraden- / Tangentengleichung ergibt sich zu
t ( x ) = x * -3/4 + 15/4

mfg Georg

---

Ich hab die Funktion auf dem vorherigen Blatt abgeleitet.

Das ist ja Blatt zwei.

Aber nur dieses ist ja gerade noch relevant gewesen für die weitere Beantwortung der Frage

---

Ich hab die Funktion auf dem vorherigen Blatt abgeleitet.

Hast du inzwischen den Fehler in dem bewussten Ableitungsversuch gefunden?

Answer 2

$$ -u * \frac{1}{\sqrt{9-u^2}} * (5-u) + \sqrt{9-u^2} = 0 \quad | * \sqrt{9-u^2} $$
$$ -u * (5-u) + (9-u^2) = 0 $$
$$ -5u + u^2 + 9 - u^2 = 0 $$
$$ -5u + 9 = 0 $$
$$ u = \frac{9}{5} $$