Aufgabe:
Ich betrachte die Funktion \(f: \mathbb{R} \setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{R}, \ x\mapsto \frac{x}{|x|} \). Ich will mit der Definition für einseitige Grenzwerte zeigen, das zb der linkseitige Grenzwert
\(\lim_{x \nearrow 0} f(x)=-1\) ist.
Definition. Sei \(f: D\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R}\) eine Funktion. Seien \(p,a\in \mathbb{R} \)und \(p\) ein linksseitiger Häufungspunkt von D, also für alle \(\delta>0\) ist \(D \cap ]p-\delta,p[ \neq \{\}\). a ist der linksseitige Grenzwert von \(f(x)\) für \(x \rightarrow p\), wenn gilt:
\(\forall \epsilon>0 \ \exists \delta>0 \ \forall x\in D: p-\delta<x<p \Longrightarrow |f(x)-a|<\epsilon\). (*)
Problem/Ansatz:
Ich zeige zuerst, dass 0 ein linksseitiger Häufungspunkt von \(\mathbb{R} \setminus\{0\}\) ist. Dies ist aber schnell klar, weil hier für jedes \(\delta > 0 \) die Eigenschaft \((\mathbb{R} \setminus\{0\}) \cap ]0-\delta,0[ \neq \{\} \) erfüllt ist.
Nun will ich (*) zeigen. Nur wie kann ich jetzt mein \(\delta > 0\) geschickt wählen, damit gilt:
\(\forall \epsilon>0 \ \exists \delta>0 \ \forall x\in \mathbb{R} \setminus\{0\}: 0-\delta<x<0 \Longrightarrow \Bigg|\frac{x}{|x|}+1\Bigg|<\epsilon\) ?
