Aufgabe:
Zu zeigen ist, dass für alle $$n\in \mathbb{N}_{0}$$ gilt: $$\sum \limits_{i=1}^{2^{n}}\frac{1}{i}\geq 1 + \frac{n}{2}$$
Problem/Ansatz:
Das ganze hört sich stark nach vollständiger Induktion an, deswegen hier mein Ansatz:
$$[IA] n=0: \sum \limits_{i=1}^{2^{0}}\frac{1}{i}=1\geq 1 + \frac{0}{2}=1$$
Als Induktionsvoraussetzung nehme man an, dass die Behauptung iben für ein n aus den natürlichen Zahlen (inkl. 0) erfüllt ist.
$$[IS] n\rightarrow n+1$$
$$\sum \limits_{i=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i} = \sum \limits_{i=1}^{2^{n}}\frac{1}{i} + \sum \limits_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}\text{ (mit Induktionsvoraussetzung)}\geq1 + \frac{n}{2}+\sum \limits_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i} (*)$$
Wie kann ich die Gleichung (*) nun so zielführend umformen, dass am Ende steht:
$$\geq1+\frac{n}{2} + \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2}$$
Über hilfreiche Gedankenanstöße würde ich mich sehr freuen!
