lineare Funktion mittels Punkt (x1,y1) und Punkt (x2,y2) aufstellen, wie?

Question

die Aufgabe lautet wie folgt:

Seien (x1,y1) und (x2,y2) zwei Punkte in einer Ebene. Bestimmen Sie eine lineare Funktion f, z.B f(x)=mx+n, sodass f(xk)=yk (k=1,2) gilt. Bestimmen Sie m und n.

Ich weiß leider nicht, wie ich die Funktion bestimmen soll, wenn als Punkte ein Tupel aus Variablen angegeben wird. Kann mir da jemand weiterhelfen.

Answer 1

Stelle die Funktionsgleichung in der Punkt-Steigungs-Form auf und multipliziere in die allgemeine Form aus. Lies dann m und n aus dem Funktionsterm ab.

$$f(x) = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x - x_1) + y_1\\ f(x) = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot x + y_1 - \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot x_1\\ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ n = y_1 - \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot x_1$$

ich denke einfacher geht es nicht.

Answer 2

f(x1)=mx1+n=y1   und

f(x2)=mx2+n= y2

Beide Gleichungen subtrahieren gibt

    m ( x2 - x1 ) = y2 - y1 ==>    m = (y2 - y1 ) /  ( x2 - x1 )

Also schon mal   f(x) = ( (y2 - y1 ) /  ( x2 - x1 ) ) * x + n

Hier z.B. (x1;y1) einsetzen gibt

            y1 = ( (y2 - y1 ) /  ( x2 - x1 ) ) * x1 + n

              y1 - ( (y2 - y1 ) /  ( x2 - x1 ) ) * x1  =  n

 Damit hast du m und n.

Comments

Danke für die Antwort.

Also wenn keine Punkte gegeben sind, sondern nur Variablen, reicht es die Funktion für die Gerade wie gewöhnt zu bestimmen - halt statt gegebenen Zahlen mit Variablen?

Eine kurze Frage hätte ich da noch:  Wie könnte man m und n vom Graphenverlauf ablesen/bestimmen?

Theoretisch mit einem Steigungsdreck und schauen wo sich der Graph mit der y-Achse schneidet, richtig?

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Theoretisch mit einem Steigungsdreck und schauen wo sich der Graph mit der y-Achse schneidet, richtig?

Richtig. Aber hier hast du ja keinen Graphen und auch keine Werte gegeben. Hier sollst du das allgemein mit Parametern machen.

Answer 3

Hallo Botaniker,

Der_Mathecoach schrieb:

ich denke einfacher geht es nicht.

Ich denke schon - zwar nicht formal, aber wie man sich gedanklich dem Problem nähert. Es soll eine lineare Funktion zwischen zwei Punkten gefunden werden. Nun kann man jeden linearen Übergang als Interpolation zwischen zwei Werten darstellen - in der Form:$$f(t) = y_1 \cdot (1-t) + y_2 \cdot t$$Dabei spielt es keine Rolle, was \(y_1\) und \(y_2\) ist. Es könnten z.B. auch Punkte in einem mehrdimensionalen Raum sein. Es ist immer$$f(0) = y_1, \quad f(1) = y_2$$Für den x-Wert gilt das gleiche$$x = x_1 \cdot (1-t) + x_2 \cdot t \\ x(0) = x_1, \quad x(1) = x_2$$ Aus der Gleichung für x folgt dann $$t = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$setzt man das in die Gleichung für \(f(t)\) ein, bekommt man (natürlich) die gleiche Lösung wie bei den anderen Antworten. Woraus man dann auch wieder die Steigung \(m\) und den Achsenschnittpunkt \(n\) berechnen kann.

Ich bevorzuge diese Herangehensweise, da sie allgemeiner ist und zumindestens ich sie mir leichter merken kann.