Seien M = {(x,y) ∈ R2|x,y > 0} und f : M → M diejenige Abbildung

Question

Aufgabe:

Seien M = {(x,y) ∈ R2|x,y > 0} und f : M → M diejenige Abbildung, die jedem (x,y) ∈ M den Punkt (u,v) ∈ M zuordnet, gemäß der Vorschrift

u = xy, v = x /y .

 a) Zeigen Sie, dass f eine Bijektion ist.

 b) Wie lautet die Umkehrfunktion f-^1 ?

 c) Skizzieren Sie die Bilder der in M gelegenen Abschnitte der Geraden , die parallel zur x-Achse bzw. y-Achse verlaufen.

Problem/Ansatz:

ich komme da nicht weiter kann können Sie mir bitte bei diesen Aufgaben helfen ?

Answer 1

Zu a) und b):

Definiere \(g:M\rightarrow M\) durch \(g(x,y)=(\sqrt{xy},\sqrt{xy^{-1}})\).

Dann gilt:

\((g\circ f)(x,y)=g(f(x,y))=g(xy,xy^{-1})=(\sqrt{xy\cdot xy^{-1}},\sqrt{xy(xy^{-1})^{-1}})=\)

\(=(\sqrt{x^2},\sqrt{y^2})=(x,y)\) und

\((f\circ g)(x,y)=f(g(x,y))=f(\sqrt{xy},\sqrt{xy^{-1}})=\)

\(=(\sqrt{xy\cdot xy^{-1}},\sqrt{xy\cdot (xy^{-1})^{-1}})=\)

\(=(\sqrt{x^2},\sqrt{y^2})=(x,y)\).

Somit \(f\circ g=id_M\) und \(g\circ f=id_M\), d.h.

\(g=f^{-1}\) und \(f\) sind zu einander inverse Bijektionen.

Comments

Du scheinst diese trockenen, abstrakten Dinge zu lieben, o ermane magne! :)

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