Addition und Multiplikation in der komplexen Zahlenebene darstellen.

Question

(a) Stellen Sie jeweils in (i) und (ii) die Addition und die Multiplikation der komplexen Zahlen \( z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} \) graphisch \( \operatorname{dar}:(\mathrm{i}) z_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2+i), z_{2}=\frac{3}{2}+2 i,(\mathrm{ii}) z_{1}=\frac{1}{\sqrt{10}}(3-i), z_{2}=-i \)
(b) Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form \( x+i y \) mit \( x, y \in \mathbb{R} \) dar:
(i) \( \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{4} \)
(ii) \( (1+i)^{2 n}+(1-i)^{2 n}(n \in \mathbb{N}) \)

Comments

Bei a) gilt:

Addition entspricht der Vektoraddition in der komplexen Zahlenebene.

Multiplikation mit einer reellen Zahl streckt / staucht die Zahlenvektoren mit dem entsprechenden Faktor.

Multipliziert man 2 komplexe Zahlen addiert man deren Argumente und multipliziert ihre Beträge miteinander. Entspricht dann einer Drehstreckung um z=0.

Answer 1

Hallo,

((1-i)/(1+i))^4 --------->Multipliziere Zähler und Nenner mit (1-i)

=((1 -2i-1)/(1+2))^4

= (-i)^4 = 1