Welche Beweisart ist hier erforderlich?

Question

ich bin gerade nicht sicher, welche Beweisart ich in den zwei Aufgaben nehmen muss.

1) Sei y∈R eine reelle Zahl mit y > −1 und y ≠ 0. Beweisen Sie, dass für k∈N mit k>1 gilt: (1+y)^k>1+ky

2) Für jede ungerade natürliche Zahl n ist n^2−1 durch 8 teilbar

Meine Idee wäre es bei

1) Vollständige Induktion und bei

2) wahrscheinlich mit direkten Beweis es zu machen.

Liege ich da richtig?

Comments

Vielen Dank Werner,

ich probiere das aus. Wenn ich auf ein Problem stolpere, werde ich direkt schreiben. Vuelen Dank für die Begründung

Answer 1

Du kannst das in beiden Fällen durch einen direkten Beweis machen. Multipliziere 1) einfach aus und ziehe auf beiden Seiten \(ky\) ab. Es bleibt \(k \gt 1\), was laut Vorgabe erfüllt ist.

Bei 2) ist es genauso. Jede ungerade Zahl \(n \in \mathbb{N}\) lässt sich darstellen als \(n=2k+1\) mit \(k \in \mathbb{N}_0\). Setze das in \(n^2-1\) ein und multipliziere es aus. Das Ergebnis ist offensichtlich durch \(8\) teilbar ...

Alternativ kann man \(n^2-1\) auch in \((n-1)(n+1)\) umformen und zeigen, dass dieser Ter durch \(8\) teilbar ist.

Falls es doch nicht klar ist, frage bitte nach.

Gruß Werner

Comments

Aufgabe 1) soll k im Exponenten stehen (Bernoulli Ungleichung)

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Falls das \(k\) in 1) im Exponenten steht, handelt es sich um die Bernoulli-Ungleichung$$(1+y)^{\colorbox{#ffff00}{k}} \gt 1+k y, \quad y \gt -1 \land y \ne 0$$Das wiederum lässt sich leicht per Induktion beweisen.

Falls Du nicht weißt wie, gibt es das zu Hauf im Netz: z.B bei Wikibooks. Aber versuche es doch erstmal selber ;-)