Körperaxiome bei einer Beweisaufgabe anwenden

Question

ich muss folgende Aufgabe für Ana lösen und bin ein bisschen verwirrt was die Beweisführung angeht.

Ich seh den Baum vor lauter Bäume nicht. Kann mir deshalb jemand sagen wo und an welcher Stelle, welche Axiome ich benutzt habe um die Aufgabe zu beweisen?

Aufgabe:

Se seien a,b,c,d Elemente eines beliebigen Körpers:

\( \text{(a) } \\ (a+b)(c+d)= ac + bd +bc +ad \\\\\text{(b) } a^2 = b^2 \Longleftrightarrow (a =b \lor a= -b)\)

Ansatz:

(a)

\( "=>" \\\text{ Aus dem Distrubutivgesetz folgt: } \\\text{ I. } b(c +d )= bc + bd \\\text{ II. }a(c +d) = ac + ad \\\text{ I + II: } ac+ ad + bc +bd \\\text{ Aus A4 folgt:} \\ ac + bd + bc +ad \\ "<=" \\\text{ Aus dem Distrubutivgesetz folgt: } \\ ac + bd + bc + ad = a (c +d) + b(c+d) = (a+b)(c+d)\)

(b)

\( \text{ Fall 1: a = -b }\\-b * (-b) =-1(b*(-b))=-1*(-1)*(b*b)=1*(b*b)=b^2 \\\text{ Fall 2: a = b }\\ b*b = b^2 \\ \Longrightarrow \\\text{Fall 1: } \Longleftrightarrow \text{Fall 2:}\)

Comments

zu b) betrachte

a^2-b^2 =(a+b)(a-b)=0

Answer 1

Es gibt 11 Axiome: Der Körper soll für "+" eine Abelsche Gruppe sein, macht 5 Axiome, Reihenfolge wie üblich.
Der Körper soll für "*" eine Abelsche Gruppe sein, macht 5 Axiome. Nr. 11: Distr.ges. (a+b)c=...nur so herum!

Bei (a) ist die Gleichheit zu beweisen, kein =>

(a+b)(c+d)                      wegen Nr6 ist die 2. Klammer ∈ K, dann Nr11
=a(c+d) + b(c+d)           wegen Nr1 sind die Klammern ∈ K, Nr10 (Komm.*)
=(c+d)a + (c+d)b            Nr11
=(ca + da) + (cb +db)     Nr10 Komm.*, (Nr1 und 6)
=(ac + ad) + (bc + bd)    die 2. Klammer ist wegen Nr1 und 6 ∈ K. Jetzt wird es hart, weil das Ass. kommt
={ac + ad} + (bc + bd)    Nr2, (Nr1 und 6)

=ac + {ad + (bc + bd)}     Nr5, (Nr1 und 6)

=ac + {ad + (bd + bc)}    Nr2, (Nr1 und 6)

=ac + {(ad + bd) + bc}   Nr5,  (Nr1 und 6)

=ac + {(bd + ad) + bc}    Nr2,  (Nr1 und 6)

=ac + {bd + (ad + bc)}    Nr5, (Nr1 und 6)

=ac + {bd + (bc + ad)}    Nr2,  (Nr1 und 6)

={ac + bd} + (bc + ad)     Nr2,  (Nr1 und 6)

=((ac + bd) +bc) +ad       Klammern weg, da von links nach rechts gerechnet wird.

=ac + bd + bc + ad