Beweis Konvergenz gegen Null

Question

Man soll zeigen, dass für -1 < q < 1 und k€N gilt

n^(k) * q^(n) → 0  für n gegen unendlich

Habe leider überhaupt keine Idee. Könnte mir jemand bitte, bitte helfen?

Answer 1

In vielen Fällen hilft es schon weiter, wenn man bei Folgenglieder der Form \(q^n\) für \(q\) die Zahl \(x+1\) substituiert. Weiter lässt sich dann \((x+1)^n\) mit der binomischen Entwicklung abschätzen.

Beweis:

Der Faktor \(|q|^n\) lässt sich mittels der Binomialentwicklung abschätzen. Dazu setze man \(1<|q|^{-1}=(1+x)\) mit \(x>0\). Damit erhält man für alle \(n>2k\):$$|q|^{-n}=(1+x)^n>\begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix}x^{k+1}=\frac{n(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{(k+1)!}x^{k+1}>\left(\frac{n}{2}\right)^{k+1}\cdot \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$$ Der Faktor rechts geht gegen unendlich für \(n\to \infty\), während der hintere konstant ist. Somit gilt \(n^k\cdot q^n \overset{n\to \infty}\longrightarrow 0\).

Comments

Vielen Dank! Aber wieso folgt aus dem Umstand, dass der eine Faktor gegen unendlich geht, und der andere konstant ist, dass

n^k  * qⁿ   --->  0

für n gegen unendlich?

An der Stelle komme ich leider nicht ganz mit

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Ich beziehe mich auf:$$\left(\frac{n}{2}\right)^{k+1}\cdot \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$$

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Ja, und genau deshalb verstehe ich nicht, warum daraus folgt, dass

n^kqⁿ   --> 0

Sorry, falls ich mich dumm anstelle :D Ich verstehe nur deinen letzten Argumentationsschritt nicht so ganz

Wie kommen wir von deiner Ungleichung auf das, was wir beweisen wollen? 

Irgendwie fehlt mir noch ein Puzzlestück, um deinen Beweis zu verstehen

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Oder mal ne andere Frage: Wie kommst du auf die erste Abschätzung, also woher weißt du, dass (1+x)ⁿ >\( \begin{pmatrix} n \\ k+1\end{pmatrix} \)x^k+1  ?

Kannst du mir bitte diese eine Frage beantworten?

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Wir haben gezeigt, dass \(|q|^{-n}\) größer ist als ein Term, der gegen unendlich strebt, somit also auch gegen unendlich strebt. Weiter gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}n^kq^n =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^k}{q^{-n}}=0$$ Die Abschätzungen entspringen der binomischen Entwicklung durch Wegstreichen von Termen.

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Jetzt habe ich nur noch eine Frage: Warum müssen wir n > 2k wählen?

Answer 2

Wir gaben eine "unendlich * Null" Situation für L Hospital.

lim x^kq^x = lim x^k e^{x ln q}= lim k x^k-1 * e^{x ln q}*ln q = lim k(k-1) x^k-2*e^{x ln q}*(ln q)²=lim k!*e^{x ln q}*(ln q)^k=0