Logarithmus-Gleichung lösen

Question

wie löse ich Logarithmusgleichungen folgender Art:

log ₃ x + log _{Wurzel x} x - log _1/3 x = 6

Was mich stört, ist dass in dem zweiten Term die Wurzel auch unten steht und ich deswegen keine Ahnung habe, wie ich die Terme umfassen bzw. zusammenfassen kann.

Hoffe, ihr könnt mir helfen! Vielen, vielen Dank

Answer 1

log _√x x

Mit dem logarithmus fragst du nach einem Exponenten. Also nach

√x hoch was sind x

Da der Exponent dann 2 sein muss, kannst du den Term zu 2 vereinfachen

log ₃ x + 2 - log _1/3 x = 6
log ₃ x - log _1/3 x = 4
log ₃ x + log ₃ x = 4
log ₃ x^2 = 4
x^2 = 3^4
x^2 = 81
x = 9
 

Comments

So natürlich noch eleganter und kürzer ;).

Answer 2

Hi,

ich hoffe ein Tipp reicht, da es sonst einiges zum Schreiben wäre^^.

Du kannst zum Beispiel den log_√x(x) schreiben als log(x)/log(√x).

Das mache mit allen dreien. Dann hast Du die Möglichkeit den gemeinsamen Hauptnenner zu finden und mit diesem zu multiplizieren.

Dann hast Du eine einfache Logarithmengleichung

(Zwischenschritt: 2*log^2(x)-2log(3)*log(x) = 0)

Faktorisieren und Du kommst letztlich auf

x = 1 und x = 9, wobei erstgenannte Lösung nicht zum Ziel führt und somit

x = 9 verbleibt.

 

Gürße