Additionstheoreme: Zeigen, dass cos(3x) = 4*cos^3(x) - 3*cos(x)

Question

Aufgabe: Wir müssen zeigen, dass cos(3x) = 4*cos^3(x) - 3*cos(x)

Problem/Ansatz:

Ich komme irgendwie nicht mehr weiter. Habe bisher bis zum folgenden Punkt geschafft.

cos(3x) = cos(2x+x)

= cos(2x) * cos(x) - Sin(2x) * sin(x)

= cos^2(x) - sin^2(x) * cos(x) - 2sin(x) * cos(x) * sin(x)

= (cos^2(x) - sin^2(x)) * cos(x) - 2sin^2(x) * cos(x)

= cos^3(x) - sin^2(x) * cos(x) - 2sin^2(x) * cos(x)

= cos^3(x) - 3sin^2(x) * cos(x)

ich weiß einfach nicht wie ich jetzt weitermachen soll.

Vielleicht habe ich ja auch schon davor einen Fehler gemacht.

Answer 1

es gilt: sin^2(x) +cos^2(x) = 1

sin^2(x)=1-cos^2(x)

Gruß

Smitty

Comments

Danke schön !

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Wäre das dann so richtig ?

Answer 2

cos(3x) = cos(2x+x)


= cos(2x) * cos(x) - Sin(2x) * sin(x)


= ( cos^2(x) - sin^2(x) ) * cos(x) - 2sin(x) cos(x)* sin(x)

und dann einsetzen sin^2(x) = 1- cos^2(x)

Comments

Vielen Dank!

Ist denn  (cos^2(x) - (1-cos^2(x))) * cos(x) = cos^3(x) - cos(x) + cos^3(x)  ?

und: -2 * (1 - cos^2(x)) * cos(x) = -2cos(x) + 2cso^3(x)  ?

Answer 3

Meine Berechnung:

Comments

Leider kann ihc das schlecht bis gar nicht lesen. :-[

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Das kann man jetzt aber lesen.

Klick mit der linken Mousetaste auf mein Bild....

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Vielen Dank!

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Vielen Dank!

Ist denn  (cos2(x) - (1-cos2(x))) * cos(x) = cos3(x) - cos(x) + cos3(x)  ?

und: -2 * (1 - cos2(x)) * cos(x) = -2cos(x) + 2cso3(x)  ?

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wäre das so auch richtig ? Weil ich nicht ganz deine Rechenschritte verstehe. sorry

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Weil ich nicht ganz deine Rechenschritte verstehe.

Ich habe folgende Gestzmäßigkeiten ausgenutzt:

cos(a+b)=cos(a) cos(b) -sin(a) sin(b)

cos(2x)=2 cos^2(x) -1

sin^2(x)= 1 -cos^2(x)

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ach sooooooo okay Danke !

ich hatte einfach cos(2x) als cos(x+x) und dann halt als cos^2(x) - sin^2(x)

Hatte das so gelernt. Aber jetzt macht alles Sinn. Danke noch mal !

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Du kannst natürlich auch damit rechnen:

cos(2x)= cos^2(x) -sin^2(x)