f `(A) bestimmen für alle A aus R^nxn

Question

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Ich habe eine Abbildung gegeben:

f: ℝ^nxn → ℝ^nxn, A↦ A^3

Ich soll f `(A) für alle A∈ℝ^nxn bestimmen.

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitung einer Matrix ist komponentenweise definiert, also betrachten wir die Komponente \((A^3)_{il}\):

$$(A^3)_{il}=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^na_{ij}\cdot a_{jk}\cdot a_{kl}$$$$(A^3)^\prime_{il}=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n\left(a'_{ij}\cdot a_{jk}\cdot a_{kl}+a_{ij}\cdot a'_{jk}\cdot a_{kl}+a_{ij}\cdot a_{jk}\cdot a'_{kl}\right)$$$$(A^3)^\prime_{il}=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^na'_{ij}\cdot a_{jk}\cdot a_{kl}+\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^na_{ij}\cdot a'_{jk}\cdot a_{kl}+\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^na_{ij}\cdot a_{jk}\cdot a'_{kl}$$$$(A^3)^\prime_{il}=(A'AA)_{il}+(AA'A)_{il}+(AAA')_{il}$$$$(A^3)'=A'A^2+AA'A+A^2A'$$Da die Ableitung einer Matrix im Allgemeinen nicht mit der Matrix kommutiert, kann man hier nicht weiter vereinfachen.

Comments

Die Ableitung einer Matrix

Es ist aber nach der Ableitung von f gefragt.

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\(f(A)=A^3\) und \(A^3\) ist eine Matrix.

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Was ist denn (a_2,7) ' , wenn a_2,7 ∈ ℝ  ist ?

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Die Ableitung einer Konstanten ist 0.

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Ist also die Summe in deiner zweiten Zeile konstant 0 ?

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Die Ableitung einer konstanten Matrix ist die Null-Matrix. Nimm einfach Vektoren als einfache Beispiele für Matrizen. Deren Ableitung ist gleich dem Null-Vektor, wenn alle Komponenten konstant sind. Daher nuss man hier davon ausgehen, dass die \(a_{ij}\) Funktionen sind.

Die Konvergenz von$$\frac{d}{dt}A(t)=\lim\limits_{s\to t}\frac{A(s)-A(t)}{s-t}$$ist äquivalent zur Konvergenz der einzelnen Komponetnen.

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Ich vermute, dass du die Matrix A als Darstellung der Abbildung α von ℝ^n → ℝ^n auffasst und jetzt die Matrix B zur Darstellung derjenigen Abbildung β : ℝ^n → ℝ^n , die die Ableitung der dreimal mit sich selbst Verketteten Funktion, also α^3 ist, suchst.

Du betrachtest dann eine Ableitung im metrischen Raum ℝ^n, wohingegen f eine Funktion von ℝ^(n×n) nach ℝ^(n×n) ist und eine Ableitung im metrischen Raum ℝ^(n×n) gesucht ist.

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Ich habe einfach alle Komponenten von \(A^3\) als Funktionen betrachtet, abgeleitet und die Ergbnis-Komponenten wieder in Form von Matrizen dargestellt.

Aber bevor wir hier ewig aneinander vorbei schreiben, poste doch einfach mal deine Lösung, dann können wir vergleichen und ich verstehe vielleicht, was du meinst.