Zeigen, dass Ableitung in 0 unstetig ist

Question

! =)

Aufgabe:

Folgende Funktion habe ich gegeben:

f(t) = t^2 sin(1/t), t ≠ 0,

        0,               t = 0,

Zeigen Sie, dass ihre Ableitung unstetig in 0 ist.

Im ersten Teil habe ich bereits abgeleitet. Meine Frage ist, wie zeige ich jetzt, dass die Ableitung in 0 unstetig ist? Muss ich die 0 für t in die Ableitung einsetzen? Leider stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar. =)

Answer 1

Weil f' in jeder noch so kleinen Umgebung von 0 unendlich oft zwischen größeren Werten als jedes vorgegebene ε und kleineren als -ε hin und herspringt.

Anders gesagt: \( \lim\limits_{h\to0} \) {2x sin(1/x) - cos(1/x)} ex. nicht.

Answer 2

Für t≠0 ist die Ableitung

f ' (t) = 2*sin(1/t) - cos(1/t)

Betrachte die Folge  a_n = 1 / (n*pi) .

Die geht gegen 0, aber die Folge f ' (a_n) ist alternierend

1 bzw. -1, also nicht konvergent. Wäre f ' bei 0 stetig, müssten

aber die Werte der Ableitung für jede Nullfolge gegen den

gleichen Wert f '(0) gehen.