Wie Koordinatengleichung der Ebene bestimmen, wenn es durch die Punkte P und Q geht und normal zu Ebene E steht?

Question

Aufgabe:

Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene, die durch die Punkte P und Q geht und normal zur Ebene E steht

b)  P(2/0/1)  ;  Q(-3/-4/2)  ; E: 3x + y + 7z - 2 =0

d)  P(3/-6/7)  ;  Q(3/-3/0)  ;  E: 3y - 2z + 8 =0

Problem/Ansatz:

Wie rechnet man das aus? Es steht normal zur Ebene, somit muss irgendetwas rechtwinklig sein...?

Answer 1

Aloha :)

Ich mache die b) vor, dann kannst du die d) analog durchführen. Die gesuchte Ebene \(B\) enthält die beiden Punkte \(P(2;0;1)\) und \(Q(-3;-4;2)\) und steht senkrecht zu der Ebene \(E:3x+y+7z=2\). Der Normalenvektor von \(E\) ist daher ein Richtungsvektor der gesuchten Ebene \(B\). Ein zweiter Richtungsvektor von \(B\) ist \(\overrightarrow{PQ}\). Damit haben wir die Parameterform der gesuchten Ebene:

$$B:\;\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)+\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}3\\1\\7\end{array}\right)+\mu\cdot\left[\left(\begin{array}{c}-3\\-4\\2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)\right]$$$$B:\;\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)+\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}3\\1\\7\end{array}\right)+\mu\cdot\left(\begin{array}{c}-5\\-4\\1\end{array}\right)$$Diese soll noch in die Koordinatenform gebracht werden:$$\vec n=\left(\begin{array}{c}3\\1\\7\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-5\\-4\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}29\\-38\\-7\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}29\\-38\\-7\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}29\\-38\\-7\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right)$$$$B:\;29x-38y-7z=51$$
www.matheretter.de/geoservant/de/?draw=ebene(2%7C0%7C1%20-3%7C-4%7C2%20-1%7C-1%7C-6)%0Aebene(3%7C0%7C-1%200%7C2%7C0%201%7C-1%7C0)

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