Trennung der Variablen mit Hilfe der Formeln

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL:

$$y ^ { \prime } = \frac { 1 + y ^ { 2 } } { \sin( x ) \cdot \cos(x) }$$

Als Tipp soll man aus der Integraltafel eine Regel verwenden. Glaube aber schon beim Ansatz ist hier ein Fehler.

Ansatz:

Integral(\( \frac{dy}{-y^2} \)) = integral(\( \frac{dx}{sin(x)*cos(x)} \))

Regel Papula Nr 259 → \( \frac{1}{a} \) • ln | tan (a(x)) |

Wenn ich jetzt natürlich schon falsch umgestellt habe macht die Regel auch keinen Sinn...

Mein Programm schmeißt mir das Folgendes aus:

$$D G L:=\frac{d}{d x} y(x)=\frac{1+y(x)^{2}}{\cos (x) \sin (x)} \\ y(x)=\tan \left(\ln (\csc (2 x)-\cot (2 x))+ \_C1 \right) $$

Answer 1

Aloha :)$$y'=\frac{1+y^2}{\sin(x)\cdot\cos(x)}$$$$\frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{\sin(x)\cdot\cos(x)}$$$$\frac{dy}{1+y^2}=\frac{dx}{\sin(x)\cdot\cos(x)}$$$$\int\frac{1}{1+y^2}\,dy=\int\frac{1}{\sin(x)\cdot\cos(x)}\,dx$$$$\int\frac{1}{1+y^2}\,dy=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin(x)\cdot\cos(x)}\,dx$$$$\int\frac{1}{1+y^2}\,dy=\int\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}+\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)\,dx$$$$\arctan(y)=-\ln|\cos(x)|+\ln|\sin(x)|+C$$$$\arctan(y)=\ln\left|\tan(x)\right|+C$$

Comments

könntest du erklären warum \( \frac{1}{sin(x)*cos(x)} \)  zu \( \frac{sin^2(x)+cos^2(x)}{sin(x)+cos(x)} \) wird?

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sin²(x) + cos²(x) = 1    (wichtige bekannte Formel)

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okay danke.

Warum wird 1/1+y^2 zu arctan(y)?

Wenn ich y= da stehen haben will, steht es dann so da y=tan(ln|tan(x)|+C)?

Gruß

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Ja genau, du kannst auf beiden Seiten den \(\tan(\cdots)\) nehmen, wenn du \(y\) alleine stehen haben möchtest. Dann wird es allerdings etwas fummeliger, die Integrationskonstente \(C\) aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen. Deswegen hatte ich die Gleichung erstmal in der oben angegebenen Form stehen gelassen.

Answer 2

Auf der linken Seite müsste statt \( \frac{dy}{-y^2} \) doch \( \frac{dy}{1+y^2} \) stehen.