Ganzrationale Funktion durch 4 Punkte finden (ohne LGS!)

Question

Hallo liebe Mahte-Helfer,

ich soll eine ganzrationale Funktion angeben, die durch die folgenden 4 Punkte verläuft:

(1|2) (4|5) (6|3) (9|6)

Das Problem dabei ist, dass es Bonus-Punkte gibt, wenn man das hinkriegt, ohne ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Leider habe ich gar keine Idee, wie das ohne gehen könnte.

Habt ihr vielleicht eine Idee?

Vielen Dank für eure Mühe im Voraus.

Comments

Man sieht wenn man die y-Werte bei zunehmendem x-Wert betrachtet, dass es zuerst hoch, dann nach unten, und dann wieder hoch geht. Das lässt an eine Gleichung 3. Grades denken. Die wird durch vier Punkte definiert, und vier Punkte werden angegeben. D.h. es ist eine Gleichung 3. Grades gesucht.

Answer 1

Aloha :)

Da du explizit eine Lösung ohne die Verwendung eines linearen Gleichungssystems gewünscht hast, schlage ich vor, das Polynom wie folgt zusammenbauen:
$$f(x)=2\cdot\frac{(x-4)(x-6)(x-9)}{(1-4)(1-6)(1-9)}+5\cdot\frac{(x-1)(x-6)(x-9)}{(4-1)(4-6)(4-9)}$$$$\phantom{f(x)}+3\cdot\frac{(x-1)(x-4)(x-9)}{(6-1)(6-4)(6-9)}+6\cdot\frac{(x-1)(x-4)(x-6)}{(9-1)(9-4)(9-6)}$$Warum das funktioniert, kannst du am ersten Term erkennen:$$2\cdot\frac{(x-4)(x-6)(x-9)}{(1-4)(1-6)(1-9)}$$Der große Bruch wird \(1\), wenn \(x=1\) eingesetzt wird, weil dann Zähler und Nenner gleich sind. Diese \(1\) wird mit dem Vorfaktor \(2\) multipliziert, der dem Funktionswert an der Stelle \(x=1\) entspricht. Für alle anderen gegebenen Punkte \(x=4\), \(x=6\) und \(x=9\) verschwindet der große Bruch. Einen solchen Term habe ich für jeden der gegebenen Punkte angesetzt. Jetzt braucht man das nur noch auszurechnen:$$f(x)=2\cdot\frac{x^3-19x^2+114x-216}{-120}+5\cdot\frac{x^3-16x^2+69x-54}{30}$$$$\phantom{f(x)}+3\cdot\frac{x^3-14x^2+49x-36}{-30}+6\cdot\frac{x^3-11x^2+34x-24}{120}$$$$f(x)=\frac{-x^3+19x^2-114x+216}{60}+\frac{10x^3-160x^2+690x-540}{60}$$$$\phantom{f(x)}+\frac{-6x^3+84x^2-294x+216}{60}+\frac{3x^3-33x^2+102x-72}{60}$$$$f(x)=\frac{1}{60}\left(6x^3-90x^2+384x-180\right)$$$$f(x)=\frac{1}{10}\,x^3-\frac{3}{2}\,x^2+\frac{32}{5}\,x-3$$

~plot~ x^3/10-3x^2/2+32x/5-3;[[0|10|0|8]] ~plot~

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Boah, war für eine galaktische Lösung...!!!

Du bist mein Retter. Nicht nur, hast du meine Aufgabe zu Ende gelesen, sondern die Lösung auch so aufbereitet, dass ich sie sofort verstanden habe.

Genau nach so was in der Art habe ich gesucht.

Vielen lieben Dank dafür.

Answer 2

Wo liegen genau deine Probleme. Entwickel aus den Bedingungen das Gleichungssystem und löse dieses.

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Wo liegen genau deine Probleme.  Entwickel aus den Bedingungen das Gleichungssystem und löse dieses.

Ist das dein Ernst? Wo liegen DEINE Probleme?

Nochmal zum Nachdenken für dich:

Das Problem dabei ist, dass es Bonus-Punkte gibt, wenn man das hinkriegt, ohne ein lineares Gleichungssystem zu lösen.

Spannend ist für mich nur, ob du wieder mal einen für dich unangenehmen Kommentar löschst...

Hast du vielleicht doch noch eine Idee zur eigentlichen Fragestellung?

(Ich muss auch erst mal nachdenken.)

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Soweit hatte ich die Fragestellung gar nicht gelesen.

Z.B. als Überschrift "Ganzrationale Funktion OHNE GLEICHUNGSSYSTEM durch 4 Punkte finden"

Zeichnet man sich die Punkte in ein Koordinatensystem könnte man eine Symmetrie vermuten. Kann man damit eventuell etwas anfangen? Dann könnte man noch annehmen das die Wendetangente ungefähr eine Steigung von -1 hat.

~plot~ {1|2};{4|5};{6|3};{9|6};[[0|12|0|9]] ~plot~

Ich würde das letztendlich auch mit einem Gleichungssystem vom Grad 2 machen. Wenn man das geschickt aufstellt braucht man auch nur eine Unbekannte. Das hat man bereits in der Mittelstufe gemacht als es z.B. um Alterszahlenrätsel ging.

f(x) = 0.1·(x - 5)^3 - 1.1·(x - 5) + 4

Answer 3

Das arithmetische Mittel der Koordinaten des ersten und vierten Punktes stimmt mit dem arithmetischen Mittel der Koordinaten des zweiten und dritten Punktes überein.

Die beiden genannten Punktepaare liegen punktsymmetrisch zum Punkt (5|4), welcher damit der Wendepunkt der Funktion ist. Hilft dir das?