Faktor ausklammern Hilfe benötigt

Question

Wie muss ich diese Aufgabe lösen?

lässt sich allgemein aus a^n− b^n der Faktor (a − b) ausklammern (hier ist n ∈ N mit n ≥ 4)?

Answer 1

Multiplizier mal folgendes aus:

∑ (k = 0 bis n) (a^(n - k)·b^k)·(a - b)

Du erhältst: a^(n + 1) - b^(n + 1)

Damit lässt sich umgekehrt auch immer (a - b) ausklammern.

Answer 2

(a-b)·(a³+a²b+ab²+b³) = a^4+a³b+a²b²+ab³-a³b-a²b²-ab³-b^4=a^4-b^4

So geht es entsprechend mit allen höheren Exponenten.

(a-b)·(a^n-1+a^n-2b+a^n-3b²+...+ab^n-2+b^n-1)

=aⁿ + a^n-1b+a^n-3b²+... +ab^n-1

        -  a^n-1b - a^n-3b² - ... - ab^n-1 - bⁿ

= aⁿ - bⁿ

Comments

Das weiß ich. Aber ich brauch die Verallgemeinerte Darstellung.. das kann man ja beliebig für n=4,5,6,7.. ausführen

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Ich poste immer erst einmal meine Vorüberlegung und mache dann die Feinarbeit.   :-)

Oder sollst du es mit vollständiger Induktion beweisen?

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Ich hatte an folgendes gedacht :

a^n - b^n = (a-b) (a^n-1 +.......+ b^n-1)

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Guck dir meinen Lösungsvorschlag noch einmal an. Dann siehst du, dass ich das genauso gemacht habe. Allerdings musst du noch die Terme die sich aufheben, in deiner Lösung ergänzen.