Volumen eines Weinglases mit Integration berechnen

Question

 Aufgabe:

Ein Weinglas hat die Form eines Drehparaboloids (entsteht durch Rotation der Funktion f(x) = a. Wurzel aus x um die x-Achse) mit 5 cm Höhe und 8 cm oberem Durchmesser.
a) Wie viel Liter Wein fasst das Weinglas?
b) In welcher Höhe ist die 0,1-Liter-Marke anzubringen?

c) Wie hoch steht der Wein, wenn das Glas halbvoll ist?

Problem/Ansatz

kann mir wer bitte a) erklären?

Answer 1

So sieht es aus:

Der obere rechte Punkt liegt bei P(5|4), da die Höhe 5 waagerecht und der Radius 4 senkrecht gezeichnet ist.

\(f(x)=a\sqrt{x}\)

Setze die Koordinaten des Punktes P ein: \(x=5 ; y=4\) und berechne \(a\).

\(f(x)=0,8\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{x}\)

Das Volumen in Millilitern erhältst du mit der Formel

\(V=\pi\int\limits_0^5 (f(x))^2 dx\)

\(V=\pi\int\limits_0^5 3,2x~ dx = 3,2\pi\cdot\left[\dfrac{x^2}{2}\right]^5_0 =3,2\pi\cdot12,5=40 \pi\)

\(V \approx 125,664~\text{cm}^3=0,125664~ \ell\)

Comments

danke dir aber auf die Funktion komm ich und bilde dann die Stammfunktion komme trotzdem auf das falsche Ergebnis..

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Ist es jetzt klarer?

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dankeschön!!

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Bitte sehr und gute Nacht! :-)

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mathe_was_sonst,
gefragt wurde nach dem Volumen in LITERN.

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@Georg:

Das ist mir schon klar, darum ja auch die Angabe der Kubikzentimeter. Die Umrechnung in Liter schafft der Fragesteller (m/w/d) bestimmt selbst. Wir wollen doch keine vollständigen Lösungen notieren, sondern nur Lösungshinweise ...    ;-)

Na gut, hab's doch ergänzt.

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Hallo mathe_was_sonst,
das ist meine Reaktion auf deinen Hinweis mit den
Rechtecken, Dreiecken, Hypotenusen, Katheten.
Normal bin ich nicht so pingelig.

Grundsätzliches :
Wir wollen doch keine vollständigen Lösungen
notieren, sondern nur Lösungshinweise ...    ;-)
( Naja, oben hast du aber den Lösungsweg
recht ausführlich dargestellt )
Ich habe mir die höhere Mathematik ohne Unterricht
selbst beigebracht. Haupsächlich durch Nach-
rechnen von Lösungen in Büchern.
Es wurden hier im Forum die beiden Antwort-
möglichkeiten
- Komplettlösung einstellen
oder
- nur Lösungungshinweise geben
immer wieder diskutiert.
Ohne Komplettlösungen wäre ich nicht weit gekommen.

Meine Vorgehensweise bei Antworten.
ich stelle Antworten nicht in voller akademischen
Strenge ein, sondern auf dem vermuteten Kenntnis-
stand des Fragenden.
Ich erwähne in meinen Antworten auch nicht unbedingt
direkt den siebten Sonderfall des siebten
Sonderfalls.
Meine Antworten sollen deutlich weiterhelfen und können dann durch Nachfrage weiter vertieft werden.
Meine Vorgehensweise hat sich bewährt.

mfg Georg

Tip des Tages
Wenn du es eilig hast dann gehe langsam.

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@georg

Alles gut, deshalb auch mein Zwinker-Smiley.

Ich weise Antwortgeber auch nur auf Fehler und Ungenauigkeiten hin, die den Fragesteller verwirren könnten.

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Auf Fehler oder vermeintliche Fehler kann man mich jederzeit hinweisen.
Kein Problem.