in Kugelkoordinaten schreibt sich das Feld wie folgt:
$$\vec{v}=\frac{1}{r}\begin{pmatrix} rsin(\varphi)sin(\vartheta)\\-rcos(\varphi)sin(\vartheta)\\1 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix} sin(\varphi)sin(\vartheta)\\-cos(\varphi)sin(\vartheta)\\\frac{1}{r} \end{pmatrix}\\ =-sin(\vartheta)\begin{pmatrix} -sin(\varphi)\\cos(\varphi)\\0 \end{pmatrix}+\frac{1}{r}\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\\ =-sin(\vartheta)e_{\varphi}+\frac{1}{r}(cos(\vartheta)e_r-sin(\vartheta)e_{\vartheta})\\$$
Die Divergenz in Kugelkoordinaten findest du hier :
https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes#Zylinder-_und_Kugelkoordinaten
Damit ergibt sich:
$$ div (\vec{v})=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(rcos(\vartheta))+\frac{1}{rsin(\vartheta)}\frac{\partial}{\partial \vartheta}(\frac{-sin^2(\vartheta)}{r})+\frac{1}{rsin(\vartheta)}\frac{\partial}{\partial \varphi}sin(\vartheta)\\ =\frac{cos(\vartheta)}{r^2}-2\frac{cos(\vartheta)}{r^2}+0=-\frac{cos(\vartheta)}{r^2}$$
Das ist hier also doch etwas umständlich, da ein Teil von v in Richtung z-Achse zeigt. In kartesischen Koordinaten hätte man auch
$$\frac{d}{dx} (\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})+\frac{d}{dy} (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}) +\frac{d}{dz} (\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}) \\ =-\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}^3}=-cos(\vartheta)/r^2$$
ermitteln können.
