Wie löst man eine diophantische Fakultätgleichung? m! + 12 = n^2

Question

Hi :)
Die Aufgabenstellung ist folgende: Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n und m, für die m! + 12 = n^2 gilt.
Ich habe Probleme hier einen Lösungsansatz herauszufinden um alle natürlich Zahlen n und m herauszufinden.

Danke

Answer 1

Ab einer bestimmten Zahl n endet das Ergebnis von n! auf mindestens zwei Nullen.

Dann endet n!+12 auf "12". So etwas tut keine Quadratzahl.

Comments

Das kann auf eine Endnull verschärft werden.

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Stimmt. Keine Quadratzahl endet auf 2.

Answer 2

Wolframalpha verrät mir, dass \(m=4\) und \(n=6\) ist.

4!+12=24+12=36

Über den Lösungsweg muss ich noch nachdenken.  :-)

Comments

Es ist eine Gleichung mit 2 Unbekannten.

Da kann man wohl nur probieren. Analytisch lösen kann man sie m.E. nicht.

Answer 3

$$ m! + k = n^{2}$$ besitzt, wie schon gesagt, das Lösungstripel \((4,12,6)\). Ob es die einzige Lösung für \(k=12\) ist, weiß ich nicht. Betrachtet man andere Werte für \(k\) findet sich beispielsweise diese Lösungen, sortiert nach aufsteigendem \(k\): $$(6,9,27)$$ $$(3,10,4)$$ $$(3,19,5)$$ $$(2,47,7)$$ Es scheint aber nicht für jedes k eine Lösung zu geben. Klar ist auch, dass es für bestimmte Kombinationen von m und k keine Lösungen geben kann.