Für welche alpha hat das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung?

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Für welche } \alpha \in \mathbb{R} \text { ist das LGS lösbar? Für welche } \alpha \in \mathbb{R} \text { ist die Lösung eindeutig? }} \\ {\qquad \begin{aligned} x_{1}+x_{2}+& \alpha x_{3}=-1 \\ 2 x_{1}+3 x_{2}+& 3 \alpha x_{3}=-1 \\ x_{2}+\left(\alpha^{2}-2\right) x_{3} &=\alpha-1 \end{aligned}}\end{array} $$

Problem/Ansatz: Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll, mich verwirrt das Alpha.. habe es mit Koeffizientenmatrix probiert, kommt leider auch nichts wirklich gescheites bei mir raus. Vielen Dank.

Comments

mich verwirrt das Alpha.. habe es mit Koeffizientenmatrix probiert,

Tipp: Stochere einfach mal etwas rum, indem du für alpha ein paar Werte einsetzt.

Findest du ein alpha, für die es passt? Für welches alpha nicht?

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Wenn ich rumprobiere  passen α=0,α=1,α=2.. heißt dass, das das LGS mit L={α∈ ℝ} lösbar ist? Somit gibt es auch keine eindeutige Lösung sondern unendlich viele

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Hallo Muppi-usw.

probieren bringt hier nichts. Hast du dir schon die Antworten unten angeguckt?

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Na ja, wenn mathe_was_sonst richtig gerechnet hat, solltest du bei alpha = 2 etwas anderes bemerkt haben als bei alpha = 1.

Tipp: Benutze die erweiterte Koeffizientenmatrix, falls ihr die Determinante noch nicht behandelt habt.

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Ich habe es jetzt geschafft das heißt für α=2 gibt es unendlich viele Lösungen für α=-1 gibt es keine Lösung und für alle α ∈ ℝ \ {2,-1} gibt es genau eine Lösung, wenn ich das aus den anderen Antworten richtig verstanden habe..? Wieso ist für alpha ungleich -1,2 die Lösung eindeutig?

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@Lu

Wenn ich bei wolframalpha richtig eingegeben habe ... :-)

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@muppi:

das heißt für α=2 gibt es unendlich viele Lösungen für α=-1 gibt es keine Lösung und für alle α ∈ ℝ \ {2,-1} gibt es genau eine Lösung

Das stimmt mit meiner Antwort überein.

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Perfekt, danke

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Die problematischen Fälle hast du dann ja bestimmt.

Also 0·x=0 und 0·x≠1.

Alle anderen Werte von alpha liefern deshalb genau eine Lösung.

Answer 1

habe es mit Koeffizientenmatrix probiert, kommt leider auch nichts wirklich gescheites bei mir raus.

Ziehe das Gauss-Verfahren gnadenlos durch!

Am Ende ist die dritte Zeile

(Faktor mit α) · \(x_3\) = (Term mit α).

Für fast alle α darfst du jetzt durch den (Faktor mit α) teilen - aber nicht, wenn dieser 0 ist.

Löse also VORHER die Gleichung (Faktor mit α)=0 und untersuche die beiden entstehenden Fälle getrennt.

Comments

Also ich habe es jetzt durchgezogen , ich kriege dann

(α²-α-2)*x₃=α-2 raus 

wenn (α2-α-2)=0 dann ist α=-1 und =2.

Aber ich verstehe nicht ganz wie ich dann weitervorgehe?

dann stelle ich diesen Term (α2-α-2)*x3=α-2 nach α um?

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Wenn ich α=2 einsetze geht die Lösung auf mit 0=0, für -1 geht die Lösung nicht auf, das heißt für α=2 gibt es unendlich viele Lösungen für α=-1 gibt es keine Lösung und für alle α ∈ ℝ \ {2,-1} gibt es genau eine Lösung, wenn ich das aus den anderen Antworten richtig verstanden habe, kann mir nur jemand erklären wieso das so ist? Ich war am Tutorium leider krank und versuche das so gut wie möglich nachzuarbeiten..

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Super, dass du das hinbekommen hast. Der Term (α²-α-2) wird 0, wenn α=2 und wenn α=-1 gilt.

Er lässt sich somit faktorisieren in (α²-α-2)=(α-2)(α+1).

Also heißt deine Gleichung

\((α-2)(α+1)\cdot x_3=α-2\).

Untersuchen wir nun die beiden "kritischen" Fälle.

Fall 1: α=2

Die Gleichung wird zu \( (2-2)(2+1)\cdot x_3=2-2 \) und somit zu

\(0\cdot x_3=0\) . Das ist offensichtlich für JEDES \( x_3\) erfüllt.

Fall 2: α=-1
Die Gleichung wird zu \( (-1-2)(-1+1)\cdot x_3=-1-2 \) und somit zu
\(0\cdot x_3=-3\) . Das ist offensichtlich für KEIN \( x_3\) erfüllt.

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Während ich schrieb, hast du nochmal kommentiert: 

kann mir nur jemand erklären wieso das so ist?

Warum das in den zwei Sonderfällen ist wie es ist, sollte wohl inzwischen geklärt sein. Für alle anderen α ist (α²-α-2) nicht 0, und du darfst die Gleichung

(α²-α-2)*x_3=α-2  durch  (α²-α-2) teilen und erhältst für jedes unkritische  α die Lösung

 \( x_3=\frac{α-2}{α²-α-2} \)

Answer 2

Kleiner Tipp berechne mal die Determinante der Koeffizientenmatrix und prüfe wo die Determinante Null wird.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=det%28%281%2C1%2Ca%29%2C%282%2C3%2C3a%29%2C%280%2C1%2Ca%5E2-2%29%29%3D0

Answer 3

Die Determinante D der Koeffizientenmatrix muss ungleich 0 sein.

Also alpha für D=0 bestimmen.

Dann die Zählerdeterminanten D1, D2 und D3 bestimmen.

Wenn D ungleich 0 ist, gibt es genau eine Lösung.

Falls D=0 ist, muss man unterscheiden:

    Wenn alle Zählerdeterrminanten 0 sind, gibt es unendlich viele Lösungen.

    Wenn eine der drei ungleich 0 ist, gibt es keine Lösung.

Wolframalpha liefert D=0 für alpha=-1 und alpha=2

Die anderen Werte überlasse ich dir zur Übung.

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Zur Kontrolle:

alpha=2: Unendlich viele Lösungen

alpha=-1: keine Lösung

andere Werte: genau eine Lösung

PS: Ohne Gewähr! :-)

Comments

Determinante haben wir leider noch nicht behandelt..

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Schade. Mit denen erspart man sich viel Arbeit. Leider wird das ja auch in der Oberstufe selten unterrichtet.

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Arbeit ersparen ist das Eine. Zum anderen ist die Determinante doch ein sehr abstraktes Konstrukt, welches den Blick auf die eigentlichen inhaltlichen Hintergründe verdeckt.

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Das kommt darauf an, wie es unterrichtet wird. Außerdem werden Additionsverfahren und Co von Schülern und Studierenden auch eher mechanisch durchgeführt. Die inhaltliche Interpretation z.B. über die Lage von Ebenen oder Geraden darf natürlich nicht fehlen.