Grenzwert beweisen mit dritter Wurzel

Question

Man beweise:

a) \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt[3]{n+\sqrt{n}} \) - \( \sqrt[3]{n} \)   = 0

b)  \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}} \) - \( \sqrt[3]{n} \)  = \( \frac{1}{3} \)

Answer 1

Hallo Yax,

versuche es mal so:$$\begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n + \sqrt n} - \sqrt[3]{n} \\ = &\lim_{n \to \infty} \frac{\left(\sqrt[3]{n + \sqrt n} - \sqrt[3]{n}\right)\left(\left(n + \sqrt n\right)^{2/3} + \left(n + \sqrt n\right)^{1/3}\cdot n^{1/3} + n^{2/3}\right)}{\left(n + \sqrt n\right)^{2/3} + \left(n + \sqrt n\right)^{1/3}\cdot n^{1/3} + n^{2/3}} \\ = &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt n}{\left(n + \sqrt n\right)^{2/3} + \left(n + \sqrt n\right)^{1/3}\cdot n^{1/3} + n^{2/3}}\\ \le &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt n}{ n^{2/3}} = \lim_{n \to \infty} \frac 1{n^{1/6}} = 0 \end{aligned}$$und b) nach dem gleichen Muster. Falls es nicht klappt, so melde Dich nochmal.

Comments

 

erst mal danke für die Antwort! Ich komme leider bei der b) nicht auf \( \frac{1}{3} \)

Bisher habe ich:

=  \( \frac{\sqrt[3]{n^2}}{(n+\sqrt[3]{n^2})^\frac{2}{3}+\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}\sqrt[3]{n}+n^\frac{2}{3}} \)

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Bisher habe ich: ...

Du bist auf dem richtigen Weg. Fasse das Produkt des mittleren Summanden im Nenner unter der Wurzel zusammen und kürze anschließend durch den Zähler. Bedenke dass$$\frac{ (n + \sqrt[3]{n^2})^{\frac 23} }{n^{\frac 23}} = \left( \frac{n +\sqrt[3]{n^2} }{n} \right)^{\frac 23}$$anschließend fällt mit \(n \to \infty\) alles raus, was wie \(\frac 1{n^{1/3}}\) aussieht

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Wie kommt man auf den Lösungsweg?

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Wie kommt man auf den Lösungsweg?

Der Klassiker ist doch der Grenzwert für \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{n+\sqrt n} - \sqrt n\). Den berechnet man erfahrungsgemäss durch Erweitern mit \( \sqrt{n+\sqrt n} + \sqrt n\) mit dem Ziel, dass im Zähler das \(\sqrt n\) stehen bleibt.

Hier ist die Frage: mit was muss man erweitern, damit genauso im Zähler \(n + \sqrt n - n\) stehen bleibt. Da substituiert man in Gedanken $$(n + \sqrt n)^{\frac 13} = a, \quad n ^{\frac 13} = b$$und da ich weiß, dass \(\left(a^k-b^k\right)\) immer den Teiler \((a-b)\) enthält, fragt man Wolfram alpha noch nach \((a^3-b^3) \div (a-b) =\, ?\) dann brauch ich selber nicht mal mehr rechnen.

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Danke, aber auf diesen Gedanken muss man erstmal kommen.

Ich bin kein Mathe-Profi im Gegensatz zu dir. Chapeau! :)