Zeigen Sie, dass G := {h1,h2,h3,h4,h5,h6} bezüglich der Verknüpfung von Abbildungen ◦ eine Gruppe ist.

Question

Aufgabe

Gegeben seien die sechs Abbildungen hi : R\{0,1}→R

h1(x) = x

h2(x) = 1−x

h3(x) =1:x

h4(x) =x:(x−1)

h5(x) =1:(1−x)

h6(x) = 1−(1:x)

Zeigen Sie, dass G := {h1,h2,h3,h4,h5,h6} bezüglich der Verknüpfung von Abbildungen ◦ eine Gruppe ist.
Problem/Ansatz:

An sich weiß ich wie man Gruppen definiert, aber bei der Aufgabe fehlt mir total der Ansatz. Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich das angehen muss.

Answer 1

Verknüpfung o von Abbildungen ist ja immer assoziativ. Das brauchst du wohl

nur zu zitieren. Prüfen muss man also:

Abgeschlossenheit

Existenz neutrales Element ( Das ist hier h1 .)

Zu jedem ein Inverses.

Ist wohl am einfachsten alles auf

einmal zu überprüfen durch Erstellen einer Gruppentafel:

   o     h1      h2     h3     h4    h5    h6  
h1      h1      h2     h3     h4    h5    h6
h2      h2      h1     h6     h5    h4    h3

etc.

Comments

Erstmal vielen Dank! Meine Frage wäre jetzt noch, wie ich beweise, dass h1 das neutrale Element ist. Muss ich das für h2, h3, ... immer einzeln nachweisen?

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wie ich beweise, dass h1 das neutrale Element ist.

Indem du für jedes f ∈ G zeigst:

        Für alle x ∈ R\{0,1} ist h₁(f(x)) = f(x).

---

Du kann sagen:   In der Spalte und in der Zeile von h1 in

der Gruppentafel finden sich die gleichen Einträge wie

in der Eingagsspalte bzw. Zeile .  Also gilt für alle h∈G

h1 o h = hoh1 = h

==>  h1 ist das neutr. El. von G.