f (x ) = x 2 + 1 injektiv, surjektiv oder bijektiv

Question

Aufgabe:

f (x ) = x^2 + 1 injektiv, surjektiv oder bijektiv

Problem/Ansatz:

mein Ansatz: x^2 + 1=0  /-1  und dann die wurzel ziehen und da    x=+ - \( \sqrt{-1} \)  ist , ist f(x) bijektiv ?

Answer 1

es fehlt die Angabe des Definitions und Wertebereichs.

Wir gehen mal von

f: R->R aus.

Dann ist f nicht injektiv, nicht surjektiv und auch nicht bijektiv.

Comments

aslo die aufgabe lautete so f : M → N, f (x ) = x^2 + 1 mit M= {1, 2, 3, 4}

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Da fehlt immernoch N, aber das soll dann wahrscheinlich einfach das Bild von f sein.

Dann ist f injektiv, surjektiv und bijektiv. Für die Umkehrabbildung müsstest du

f(x)=x^2+1=y nach y umstellen.

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ich stelle mal meine frage anders

wie beiweise ich rechnerisch das etwas surjektiv injektiv ist

geht das wenn ich bei der injektivität einfach  x^2 + 1=  x^2 + 1 und nach x auflöse und wenn da x1 = x2 rauskommt ist es bewiesen

und bei der surjektivität  x2 + 1= Y und was muss da dann rauskommen wenn es stimmen würde ?

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Injektiv: Es gilt f(x) ≠ f(y) für alle x,y ∈M

M hat hier nur 4 Elemente, also reicht es zu rechnen, dass

f(1)≠f(2)≠f(3)≠f(4)

Surjektiv kannst du hier eigentlich nicht untersuchen , denn N ist nicht gegeben.

Du müsstest zeigen, dass es für jedes y ∈ N ein x ∈ M gibt, sodass f(x)=y . Also alle Werte in N mindestens einmal angenommen werden. Auch hier gibt es nur 4 Fälle.

Ist N= das Bild von f auf M, dann ist f automatisch surjektiv.

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Da fehlt immer noch N, aber das soll dann wahrscheinlich einfach das Bild von f sein.

Wahrscheinlicher ist wohl  N = ℕ

Answer 2

Hallo David,

wie beweise ich rechnerisch, dass etwas surjektiv injektiv ist

Wenn ich mal von f: {1, 2, 3, 4} → ℕ ; x ↦ x² +1   ausgehe, dann ist f

- injektiv , weil die Funktionswerte f(1) = 2 , f(2) = 5 , f(3) = 10 und f(4) = 17 alle verschieden sind.

- nicht surjektiv, weil z.B. 1∈ℕ  kein Urbild x∈M  mit f(x) = 1 hat.

Gruß Wolfgang