Lineare Unabhängigkeit für 0 < n ∈ N

Question

die Aufgabe ist:

Für 0 < n ∈ N sei f_n ∈ V definiert durch

f_n(x)=\( \prod_{i=1}^{n}{(x-i)} \).

Ist {f_n|0 < n ∈ N } ⊆ V linear unabhängig?

Ich habe nicht wirklich eine Ahnung wie ich das lösen soll. Bin für jeden Ansatz dankbar.

Answer 1

Sei \(0=\sum_{i=1}^n \lambda_i f_i(x)\). Hier kann man den Faktor \((x-1)\)

ausklammern:

\(0=(x-1)g_1(x)\) mit \(g_1(x)=\lambda_1+(x-2)g_2(x)\). Da \(2\neq 1\) folgt

\(g_1(2)=0\) also \(\lambda_1=0\), somit \(g_1(x)=(x-2)g_2(x)\),

so fortfahrend erhält man

\(g_n(x)=\lambda_n,\; g_{n-1}(x)=\lambda_{n-1}+(x-n)g_n(x)\),

.....

\(g_k(x)=\lambda_k+(x-(k+1))g_{k+1}(x)\) für \(k=2,\cdots,n-1\).

Man erhält nun sukzessive \(g_k(k+1)=\lambda_k=0\) und \(g_{k+1}(x)=0\).

Der Ring der Polynomfunktionen über einem unendlichen Körper ist

nullteilerfrei.