Berechnen Sie die Werte folgender Reihen

Question

Aufgabe:

Berechnen sie die Werte folgender Reihen

b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{5^{k+1}}{k !} \)
d) \( \frac{1}{3} \cdot \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+1) \cdot 3^{k}}{(k+1) !} \)

Ich komme bei diesen Aufgaben nicht weiter.

Answer 1

Vermutlich kennst du die Reihe

$$\sum \limits_{k=0}^{\infty}  \frac{x^k}{k!} = e^x .$$

Ziehe mal eine 5 aus der 1. Reihe raus, dann kommst du

auf 5*e^5 .

Bei der 2. reihe kannst du ja mal das k+1 und das k

aus der Fakultät rauskürzen. Dann wird es einfacher.

Answer 2

Aloha :)

$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{5^{k+1}}{k!}=5\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{5^{k}}{k!}=5e^5$$$$\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k(k+1)3^k}{(k+1)!}=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k(k+1)3^k}{(k-1)!\cdot k\cdot(k+1)}=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{3^k}{(k-1)!}$$$$=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{3^{k+1}}{k!}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{3^k}{k!}=e^3$$