Beweis, dass Folge reellwertig ist

Question

Aufgabe:

Es sei \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n} \) eine konvergente Reihe und \(r_k :=  \sum\limits_{n=k}^{\infty}{a_n} \) für \(k \in \mathbb N\). Zeigen Sie: \(r_k \in \mathbb R\).

Wie ist diese Aufgabe zu lösen?

Answer 1

$$r_k :=  \sum\limits_{n=k}^{\infty}{a_n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n} -\sum\limits_{n=0}^{k}{a_n}$$

Der erste Summand ist endlich ∈ ℝ , der zweite auch. Die Summe zweier reeller Zahlen ist wieder reell.

Comments

Oh, ja, stimmt, danke! Aber ist es nicht

\( \sum\limits_{n=k}^{\infty}{a_n} \) =\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n} \) \( - \) \( \sum\limits_{n=0}^{k-1}{a_n} \)

? Also \(k-1\) statt \(k\) beim Term vor dem Minuszeichen?

Okay. Es ist \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n} \) reell, da konvergent, richtig?

Und damit ist \( \sum\limits_{n=0}^{k-1}{a_n} \) reell, da  \((\sum\limits_{n=0}^{k-1}{a_n})_{k \in \mathbb N}  \) eine Teilfolge von \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n} \) ist, und jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergent ist?