Folge beweisen Epsilonumgebung

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Bestimmen Sie von nachstehender Folge }\left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} \text { den Grenzwert } a \in \mathbb{R}} \\ {\text { und bestätigen Sie diesen, indem Sie für jedes } \varepsilon>0 \text { ein } N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \text { bestimmen, sodass }} \\ {\text { die Ungleichung }\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon \text { für alle } n \geq N(\varepsilon) \text { erfüllt ist: }}\end{array} $$

$$ a_{n}=\frac{n+2}{n+1} $$

Problem/Ansatz:

ich verstehe nicht ganz, wie ich das beweisen soll. Bzw, ob ich das richtig gemacht habe.

Meine Vorgehensweise:

$$ \begin{array}{l}{a_{n}=\frac{n+2}{n+1} \quad a_{n} \rightarrow 1 \quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1} \\ {\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon} \\ {\left|\frac{n+2}{n+1}-1\right|<\varepsilon} \\ {\left|\frac{N(\varepsilon)+2}{N(\varepsilon)+1}-1\right|<\varepsilon} \\ {\left|\frac{N(\varepsilon)+2}{N(\varepsilon)+1}-1\right|<1: \forall \varepsilon>0}\end{array} $$

Ist das korrekt?

Answer 1

Aloha :)

Du musst zeigen, dass die Bedinung \(|a_n-a|<\varepsilon\) für fast alle \(n\in\mathbb{N}\) gilt. Am einfachsten gibst du dafür ein \(n_0\in\mathbb{N}\) an, ab dem aufwärts die Bedingung richtig ist. Egal wie groß dieses \(n_0\) auch ist, wichtig ist, dass die Bedingung ab diesem \(n_0\) für alle \(n>n_0\) wahr ist. Dieses \(n_0\) muss nicht konstant sein, es kann ruhig von \(\varepsilon\) abhängen.

Für die hier gegebene Folge \(a_n\) vermutest du den Grenzwert \(a=1\). Daher lautet die Bedingung:$$\left|\frac{n+2}{n+1}-1\right|=\left|\frac{n+1+1}{n+1}-1\right|=\left|1+\frac{1}{n+1}-1\right|=\left|\frac{1}{n+1}\right|<\varepsilon$$Wegen \(\frac{1}{n+1}>0\) können wir die Betragszeichen weglassen und die Bedingung nach \(n\) umstellen:$$\frac{1}{n+1}<\varepsilon\;\;\Leftrightarrow\;\;n+1>\frac{1}{\varepsilon}\;\;\Leftrightarrow\;\;n>\frac{1}{\varepsilon}-1$$Damit hast du gezeigt:

Für alle \(\varepsilon>0\) gibt es ein \(n_0\in\mathbb{N}\), zum Beispiel \(n_0=\text{int}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\), sodass für alle \(n>n_0\) gilt: \(|a_n-1|<\varepsilon\). Oder kürzer, für jedes \(\varepsilon>0\) gilt \(|a_n-1|<\varepsilon\) für fast alle \(n\).

Dahker konvergiert \(a_n\to1\).

Comments

perfekt, danke dir.

Answer 2

(n+2)/(n+1)-1 hat den Betrag 1/(n+1).

Damit das kleiner als eeps ist, muss

n größer 1/eps - 1 gelten.  Das ist das gesuchte N.