Question

bestimmen sie eine ganzrationale funktion n-ten grades ,welche die angegebenen nullstellen hat,und deren graph durch den punkt P geht

a) n= 3       -1 ,0 und 1 sind die nullstellen ,P=P(2/3)

b) n=3        -1,2 und 3 sind die nullstellen ,P=P(-2/5)

c) n=4        0,und 2 sind doppelte nullstellen ,P=P (3/18)

d) n=4       -1 ist ein einfache und 3 ist dreifache nullstelle P=P(1/4)

 wie löst man bzw. geht man vor ...wäre nett wenn ihr mir den rechenweg erklärt

Answer 1

Anhand der angegebenen Nullstellen kann man die Linearfaktoren der gesuchten Funktionen ablesen.

Der Punkt bestimmt dann noch einen reellen Faktor, der angibt wie stark die Kurve in y-Richtung gestreckt oder gestaucht ist.

Was ich eben geschrieben habe führt zu folgenden Ansätzen und Bedingungen für a:

a) n= 3       -1 ,0 und 1 sind die nullstellen ,P=P(2/3)

Ansatz: y = a(x+1) *x *(x-1)

3 =a(2+1)*2 * (2-1)= a*3*2*1 = 6a → a = 0.5

Die gesuchte Funktion hat die Gleichung y = 0.5 (x+1) * x (x-1)

Ausmultiplizieren, falls verlangt. y = 0.5 x (x^2 - 1) = 0.5 x^3 - 0.5x

So sieht sie aus:

b) n=3        -1,2 und 3 sind die nullstellen ,P=P(-2/5)

Ansatz: y = a(x+1)(x-2)(x-3)

Punkt P -----> 5 = a*(-1)*(-4)*(-5) = -20a → a = 0.25

Also y = 0.25 (x+1)(x-2)(x-3)                                 Hat Grad 3, da ax^3 enthalten

c) n=4        0,und 2 sind doppelte nullstellen ,P=P (3/18)

Ansatz: y = a*x² (x-2)²

P -----> 18 = a* 9 * 1 → a = 2

Also y = 2*x² (x-2)²                                            Hat Grad 4, da ax^4 enthalten

d) n=4       -1 ist ein einfache und 3 ist dreifache nullstelle P=P(1/4)

Ansatz: y = a (x+1)(x-3)³

P → 4 = a*2*(-2)³        4 = a*(-16)      ---------> a = -0.25

Also y = -0.25 (x+1)(x-3)³                                Hat Grad 4, da ax^4 enthalten    

 

Schreib dir noch Zwischenschritte rein und multipliziere die Funktionsgleichungen aus. Als Probe und damit du weisst, wie solche Funktionen ungefähr aussehen, kannst du die Graphen zeichnen. Z.B. mit dem Knopf Funktion zeichnen oder mit dem Taschenrechner.

Answer 2

Der Grad müsste immer ³ sein, oder? So glaube ich jedenfalls...

Answer 3

a) n= 3       -1 ,0 und 1 sind die nullstellen ,P=P(2/3)

Funktionsgleichung in der faktorisierten Form mit Parameter a aufstellen.

f(x) = a * x * (x + 1) * (x - 1)

Wenn man zwei einsetzt soll 3 herauskommen. damit ist a zu bestimmen

a * 2 * (2 + 1) * (2 - 1) = 3
a = 1/2

f(x) = 1/2 * x * (x + 1) * (x - 1)

 

Auf exakt die gleiche Art funktionieren auch die anderen Aufgaben. Zuerst den Funktionsterm mit a aufstellen. Dann a durch einsetzen des Punktes bestimmen. So erhält man die folgenden Lösungen:

b) n=3        -1,2 und 3 sind die nullstellen ,P=P(-2/5)

f(x) = -1/4 * (x + 1) * (x - 2) * (x - 3)

 

c) n=4        0,und 2 sind doppelte nullstellen ,P=P (3/18)

f(x) = 2 * x^2 * (x - 2)^2

 

d) n=4       -1 ist ein einfache und 3 ist dreifache nullstelle P=P(1/4)

f(x) = -1/4 * (x + 1) * (x - 3)^3

Answer 4

hmm, prinzipiell hat man zur gesuchten Funktion zwei Bedinungen:

- Nullstellen

- einen definierten Punkt

zu a) da drei einfache Nullstellen vorliegen und diese auch bekannt sind, kann man schreiben:

(x+1)*x*(x-1) = f(x) (wenn man f(x) Null setzt, bekommt man die oben genannten Nullstellen heraus)

Nun muss das "Verhältnis" der Terme untereinander noch stimmen:

Setzen wir mal für x = 2 in die Gleichung ein: (2+1)*2*(2-1) = f(x) = 6. Wir haben aber als Punkt für dem y-Wert eine 3. Also genau die Hälfte gegeben. Insofern muss man in der Gleichung noch den Faktor 0,5 einfügen:

0,5*(x+1)*x*(x-1) = f(x) = 0,5*x*(x²-1) Diese Gleichung dürfte dann die beiden Bedingungen erfüllen:

zu b) (x+1)*(x-2)*(x-3) = f(x), f(x=-2) = (-2+1)*(-2-2)*(-2-3) = -20 -> -1/5*(x+1)*(x-2)*(x-3) = f(x)

zu c) x*x*(x-2)*(x-2) = f(x), f(x=3) = 3*3*1*1= 9 -> 2*x²*(x-2)² = f(x)

zu d) (x+1)*(x-3)*(x-3)*(x-3) = f(x), f(x=1) = 2*(-2)*(-2)*(-2) = -16 -> -1/4*(x+1)*(x-3)² = f(x)