Sei (R,+,*) ein Ring und n Element N\{0}

Question

Aufgabe:

Beweisen sie:

a) -(a*b)=a*(-b)=(-a)*b

b) (-a)*(-b)=a*b

c) (-a)ⁿ= 1. aⁿ, wenn n gerade ist; 2. -aⁿ: wenn n ungerade ist

Problem/Ansatz:a) 1.Fall:

(-a)*b= -(a)*b+0 = -(a)*b+(ab+-(ab))= (-(a)b+ab)+-(ab)= b(-a+a)+-(ab)=b*0+-(ab)= -(ab)

2. Falls

a*(-b)=a*(-b)+0= a*(-b)+(ab+-(ab))= (a*(-b)+ab)+-(ab)= a(-b+b)+(-(ab))=a*0+-(ab)=-(ab)

Das sind meine 2. Fälle für a. Müsste ich noch -(a*b)=a*(-b) beweisen, oder a(-b)=(-a)*b ? Weiß nur nicht wie, hätte da eine Idee für mich:(

b) (-a)*(-b)= (-a)*(-b)+0 = (-a)*(-b)+(ab+(-(ab))=(-a)*(-b)+(ab+(-a)*b)= (-a)*(-b)+(-a)*b)+ab=(-a)*(-b)+(-a)*b)+ab=(-a)*((-b)+b)+ab= (-a)*0+ab= ab.

Ist das richtig? Bin mir total unsicher.

und c wüsste ich gar nicht, wie ich es beweisen sollte. Es sieht zwar total logisch aus und habe auch schon Beipsiele aufgeschrieben. Aber das ist ja kein richtiger Beweis. Wäre nett, wenn mir einer helfen könnte

Answer 1

Ich würde über die Def. von   -(a*b) gehen.

Das ist doch das Element, das zu a*b addiert 0 ergibt. Also prüfe,

ob (-a)*b das leistet. In der Tat ist

a*b + (-a)*b  = (a + (-a)) * b   wegen distributiv

                    = 0*b

                    = 0

entsprechend für a*(-b) !

und b) kannst du doch darauf zurückführen

(-a)*(-b)=  - ( a*(-b)) = - - (a*b) = a*b

Comments

Dankeschön !

Hättest du noch eine Idee für c? Man soll das mit vollständiger Induktion machen oder? Aber wie ? ‍♀️

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Genau : Zweimal Induktion.

Für die ungeraden :Anfang mit n=1 .

Da gilt  (-a)¹ = -a . Passt also.

Wenn es für irgendein ungerades n gilt, also  (-a)ⁿ=  -aⁿ .

Dann auch für das nächste ungerade, das ist ja  dann n+2 und es ist

(-a)^(n+2)   nach Def. der Potenz

                  = (-a)ⁿ * (-a)²  also nach Ind. annahme

                 = -aⁿ   * (-a)²

                  =  -aⁿ * (-a)*(-a)   und nach b)

                  = -aⁿ * (a*a)   wegen assoziativ also

                     = (-aⁿ * a)  *a    nach Teil a)

                    = - (aⁿ * a ) * a  nach Def. Potenz

                     = - a^(n+1)   usw.  also auch

                   …………. =  -a^(n+2) .

Entsprechend für gerade !