Aufgabe zur Flächenberechnung die von den Graphen von f und g begrenzt wird so richtig?

Question

habe 2 Aufgaben berechnet und würde nun wissen, ob sie so richtig sind, da ich meine Lehrerin leider nicht fragen kann.

Vorab: Ich habe 2 verschiedene Verfahren benutzt und ja, ich muss beide für die kommende Klausur können. Also bitte ich den Kontrollierer keinen anderen (wenn auch besseren) Weg zu zeigen.

Aufgabe:

Wie groß ist die Fläche, die von den Graphen von f und g begrenzt wird?

a) f(x) = x^2; g(x) = -x^2 + 4x      b) f(x) = 4x^3 + x^2 - 9x; g(x) = x^2

Lösung:

a) (sollte soweit ich weiß richtig sein, da ich meine, die gleiche Aufgabe hier gesehen zu haben - habe jedoch eine andere Frage und ich bitte, diesen Thread nicht zu verschieben) Verfahren: f(x) = g(x)

f(x) = x^2; g(x) = -x^2 + 4x

x^2 = -x^2 + 4

0 = -2x^2 + 4x => CAS x = 2

Fläche unter g berechnen auf [0;2]                            

$$\int_{0}^{2}g(x)dx = |[-x^3/3 + 4x^2/2]| = |(-2^3/3 + 4*2^2/2)| - |(0)| = 16/3 FE$$

Fläche unter f berechnen auf [0;2]

$$\int_{0}^{2}f(x)dx = |[x^3/3]| = |(2^3/3)| - |(0)| = 8/3 FE$$

Fläche zwischen f und g berechnen:

$$|\int_{0}^{2}f(x)dx| - |\int_{0}^{2}g(x)dx|| - ||8/3 - 16/3| = 8/3 FE$$

b) f(x) = 4x^3 + x^2 - 9x; g(x) = x^2

Stelle Funktion h = f - g

h(x) = 4x^3 + x^2 - 9x - x^2

Berechne die Nullstellen von h:

h(x) = 0 => CAS x1 = 0; x2 = 3/2; x3 = -3/2

Fläche zwischen h und der x-Achse auf [-3/2;0;3/2]

$$|\int_{-3/2}^{0}h(x)dx| = |[x^4-9x^2/2]| + |\int_{0}^{3/2}[x^4-9x^2/2]| + |\int_{-3/2}^{3/2}[x^4-9x^2/2] = 567/40 FE$$

PS: Ich kann leider nicht die Hochzahlen bei der eckigen Klammer eingeben, ich hoffe trotzdem, dass das klar ist!

Wäre echt nett, wenn jemand drüber schauen könnte.

Gruß

Comments

Tipp: Gib deine beiden Funktionsgleichungen bei wolframalpha.com ein. Da wird dir automatisch auch ein Integral berechnet.

Answer 1

b.) einmal ausführlich
f ( x ) = 4 * x^3 + x^2 - 9x
g ( x ) = x^2
Schnittstellen
f ( x ) = g ( x )
4x^3 + x^2 - 9x = x^2
4x^3 - 9x =  0
x * ( 4x^2 - 9 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
4x^2 - 9 = 0
x = - 3/2
x = 3/2

Die Differenzfunktion ist
d ( x ) = f ( x ) - g ( x )
d ( x ) = 4x^3 + x^2 - 9x - x^2
d ( x ) = 4x^3 - 9x
Stammfunktion
S ( x ) = 4*x^4/4 - 9x^2/2
S ( x ) = x^4 - 9x^2/2
Du mußt jetzt von Schnittpunkt zu Schnittpunkt integrieren

-3/2 bis 0
und
0 bis 3/2

[ x^4 - 9x^2/2 ] von -3/2 bis 0 = 81/16
[ x^4 - 9x^2/2 ] von 0 bis 3/2 = - 81/16

Da Flächen stets positiv sind
| 81/16 | + | -81/16 | = 162 / 16

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort! Aber es gibt doch insgesamt 3 Schnittpunkte. Muss man dann nicht von -3/2 bis 0, 0 bis 3/2 und dann -3/2 bis 3/2?

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Nein.
Schau dir den Graph der Differenzfunktion an.

Es gibt nur 2 Flächen.
Die beiden Flächen von -3/2 bis 3/2 hast du schon.

Answer 2

Schon bei der Lösung von a) fehlt jegliche (einfache) Begründung für die Integrationsgrenze 0. Außerdem ist der beschriebene Rechenweg sehr umständlich. Besser und schneller ist es, die Differenzfunktion in den Grenzen ihrer Nullstellen zui integrieren.

Entsprechendes gilt auch zu b). Hier ist dann zu beachten, dass die Differenzfunktion drei Nullsellen hat und zur Flächenberechnung nur von Nullstelle zu Nullstelle integriert werden darf und nicht über eine Nullstelle hinweg. Die Beträge der Ergebnisse (bestimmten Integrale) sind dann zu addieren.

Answer 3

Sehe gerade, dass man etwas genauer eingeben muss bei WA. Arbeite mit der Differenzfunktion. So brauchst du bei a) nur ein Integral:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28+x%5E2+-+%28+-x%5E2+%2B+4x+%29%29+from+x%3D0+to+x%3D2

Somit ist die Fläche (der Betrag vom Resultat) 8/3, wie du das bei a) auch hast.

Answer 4

0 = -2x2 + 4x => CAS x = 2

Ich würde den zweiten Schnitpunkt, den du als untere Grenze genommen hast,  noch benennen, also x1= ₀ und x₂ = 2

a) ist richtig

b) Wenn ich das richtig sehe, hast du bei b) ein drittes Integral addiert. Richtig ist das Integral von -1,5 bis 0 plus dem (identischen) von 0 bis 1,5.

Gruß, Silvia