Gradient von 2-Norm (Warum nicht als Vektor)?

Question

Sei \(v : \mathbb{R}^n \backslash \{0\} \to \mathbb{R} , x\mapsto ||x||_2:=\sqrt{x_1^2+\cdots + x_n^2}\)

Die partiellen Ableitungen sind kein Problem. Es gilt:$$\partial _j v(x)=\partial _j(x_1^2+\cdots + x_j^2+\cdots x_n^2)^{1/2}=\frac{1}{2}\frac{2x_j}{\sqrt{x_1^2+\cdots x_n^2}}=\frac{x_j}{v(x)}$$ Der Gradient ist definiert durch den Vektor \(\text{grad} f(x):=(\partial _1 f(x), ..., \partial _n f(x))\). Der Gradient von \(v(x)\) ist nun in meinem Lehrbuch angegeben durch:$$\text{grad} \, v(x)=\frac{x}{||x||_2} \text{ für } x\in \mathbb{R}^n \backslash \{0\}$$ Ich verstehe irgendwie nicht, warum das so ist? Ich habe bisher noch keine Lineare Algebra gehört, aber wieso wird denn aus einem Vektor ein Quotient?

Answer 1

x ist doch in dem Fall als Vektor definiert. x = [x1, x2, x3, ..., xn]

Das steht doch hinter der Definition.

Comments

Achso, also ist das einfach:$$\text{grad} \, v(x)=\frac{1}{||x||_2}\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$

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Richtig. Und du könntest auch in ||x||₂ für x den Vektor einsetzen. Aber wer würde das machen? Damit ist ja lediglich die Länge des Vektors x gemeint.

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Danke, ich war gerade durch zwei verschiedene Schreibweisen verwirrt.

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Es ist unschön Vektoren ohne den Vektorpfeil zu schreiben. Aber in anderen Ländern ist das gang und gäbe Vektorpfeile wegzulassen :)

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Denk doch an die Druckerschwärze! (:

Answer 2

Aloha :)

Du bist durcheinander wegen der schlampigen Schreibweise der Mathematiker hinsichtlich Vektoren. Der Gradient einer Funktion, die nur vom Betrag \(r=|\vec r|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\) des Vektors abhängt, ist:$$\text{grad}f(r)=f'(r)\cdot\vec r^0=f'(r)\cdot\frac{\vec r}{r}$$In deinem Fall hier ist \(f(r)=r\).