Wie berechne ich das Konvergenzverhalten von dieser unendlichen Reihe?

Question

Aufgabe:

Ich soll folgende Reihe berechnen:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2+4k}} \)

Ansatz:

hat das vielleicht was mit dem geometrischen Reihe zu tun?

Ich sehe allerdings keine Verbindung.

Comments

Was jetzt, n oder k?

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sorry ,es muss über k summiert werde und beginnt bei k=0

Answer 1

Hallo,

racine_carrée hat Dir doch bereits den entscheidenden Tipp gegeben:

... Partialbruchzerlegung und anschließend Teleskopeigenschaft ausschöpfen.

Partialbruchzerlegung von \(\frac 1{k^2+4k}\)$$\begin{aligned} \frac 1{k(k+4)} &=  \frac A{k} + \frac B{k+4} \\ &= \frac{Ak + 4A + Bk}{k(k+4)} \\ &= \frac{(A+B)k + 4A}{k(k+4)} \\ &\implies A+B=0 \space \land \space 4A=1 \\ &\implies A = \frac 14, \space B = -\frac 14\end{aligned}$$Jetzt kannst Du die Summe umschreiben$$\begin{aligned} &\quad \sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k(k+4)}  \\&= \frac 14 \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac 1{k} - \frac 1{k+4} \right) \\ &= \frac 14 \left( \underbrace{\frac 11 \textcolor{#00f}{ - \frac 15}}_{k=1} + \underbrace{\frac 12 \textcolor{#f00}{- \frac 16}}_{k=2} + \underbrace{\frac 13 - \frac 17}_{k=3} + \underbrace{\frac 14 - \frac 18}_{k=4} \textcolor{#00f}{+ \frac 15} - \frac 19 \textcolor{#f00}{+ \frac 16} \dots \right) \\ &= \frac 14 \left(  \frac 11  + \frac 12 + \frac 13  + \frac 14 \right) \\ & = \frac 14 \cdot \frac {12+6+4+3}{12} = \frac {25}{48} \end{aligned}$$und sie wird zur Teleskopsumme. Die 'negativen' Summanden eines Viererblocks addieren sich mit den 'positiven' Summanden des nächsten Viererblocks zu 0. Sollte noch was unklar sein, so melde Dich bitte.

Comments

Da hätte ich direkt eine Frage: Bei der Partialbruchzerlegung, wie kommst du auf den Term

\( \frac{1}{k(k+4)} \)  = \( \frac{A}{k} \) + \( \frac{B}{k+4} \)

1. Warum steht da ein +? Ich meine ich verstehe den Weg nicht, woher das kommt, vielleicht kannst du mir das detailliert nochmal zeigen?

2. Wieso nimmst du jetzt A und B? Also für was stehen die? Sind das die Nullstellen, wenn ja von welcher Funktion genau, nenn wir sie l(x). Wie sieht dann l(x) aus??

3. Generell kann ich die Rechenschritte nicht nachvollziehen, wie kommst du zu den Änderungen?

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ok die Partialbruchzerlegung habe ich jetzt verstanden, hat etwas gedauert, aber dann ist die Münze gefallen ... :)

Dann ist es ja klar,

vielen Lieben Dank!

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wie kommst du auf den Term ...

Das ist nur ein Ansatz. Man nimmt an, dass sich ein Bruch in der Form \(\frac 1{u \cdot v}\) als eine Summe von zwei Brüchen darstellen lässt, deren Nenner eben gleich der Faktoren \(u\) und \(v\) sind. Allgemein $$\frac 1{u \cdot v} = \frac Au + \frac Bv = \frac {Av + Bu}{u \cdot v} \implies Av + Bu = 1$$

\(A\) und \(B\), die Zähler, sind schlicht die Unbekannten. Diese werden dann über den Koeffizientenvergleich berechnet. Das ist das Wesen der Partialbruchzerlegung.

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Hi wie kommst du drauf dass A + B = 0 sein muss :) ?

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Hi wie kommst du drauf dass A + B = 0 sein muss :) ?

oben in meiner Antwort steht doch:$$\begin{aligned} \frac 1{k(k+4)} &= \frac{(A+B)k + 4A}{k(k+4)} && \left| \cdot k(k+4) \right.\\ 1 &= (A+B)k + 4A\end{aligned}$$Diese Gleichung muss für jedes(!) \(k \in \mathbb{N}\) stimmen. Das geht nur dann wenn \(k\) mit 0 multipliziert wird und \(4A =1\) ist.

Das nennt man einen Koeffizientenvergleich. Auf jeder Seite steht ein Polynom

$$\colorbox{#ffff00}{0} \cdot k^1 + \colorbox{#aaffaa}{1} \cdot k^0 = \colorbox{#ffff00}{(A+B)} \cdot k^1 + \colorbox{#aaffaa}{4A} \cdot k^0$$

... und die sind nur gleich, wenn die Koeffizienten gleich sind

Answer 2

Hallo,

vergleiche mit der Summe über 1/k^2

Stichwort: Minorantenkriterium

Comments

Wieso darf ich das +4k ignorieren?

zum Minorantenkriterium, ich glaube das hatten wir noch nicht, ich kenne nur das Majorantenkriterium, aber wie genau wende ich das hier an?

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Wieso darf ich das +4k ignorieren?

Egal was jc gesagt hat - du darfst es keineswegs ignorieren.

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Du kannst den Wert der Reihe hier auch explizit angeben.

1/(k^2-4k)=1/(k(k-4)), dann Partialbruchzerlegung und anschließend Teleskopeigenschaft ausschöpfen.

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Wo füge ich jetzt die nahrhafte Null hinzu? Habe irgendwie immer noch Probleme damit zu erkennen, was sich am Ende auflösen soll, dass ist ja der Sinn von Teleskopsummen, ein Teil hebt sich mit einem anderen teil auf, nur habe ich jetzt \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}*\frac{1}{k-4}} \)

ich habe versucht für k Werte einzusetzen, damit es mir vielleicht klar wird aber dann bekomme ich daher raus:

k=1 -> \( \frac{-1}{3} \)

k=2 -> \( \frac{-1}{4} \)

k=3 ->  \( \frac{-1}{3} \)

k=4 -> undefiniert da Null im Nenner steht (muss ich das dann angeben oder wie gehe ich damit um?

k=5 ->  \( \frac{1}{5} \)

k=6 ->  \( \frac{1}{12} \)

k=7 -> \( \frac{1}{21} \)

...

also \( \frac{-1}{3} \) + \( \frac{-1}{4} \) +  \( \frac{-1}{3} \) + (undef. für k=4 ?) + \( \frac{1}{5} \) + \( \frac{1}{12} \) + \( \frac{1}{21} \) + ...

Ich kann keine Regelmäßigkeit erkennen, und habe ja noch keine nahrhafte Null eingefügt, also kann ich ja jetzt noch nicht erkennen...

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Hallo,

ich dachte es geht nur um die Konvergenz. Wenn du die Reihe berechnen möchtest, dann machst du eine Partiabruchzerlegung. Das haben die anderen aber schon vorgemacht.

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Wenn man den Wert der Reihe explizit angibt, folgt die Konvergenz doch unmittelbar... Nur der Konvergenz wegens ist man mit dem Minorantenkriterium und wissen über ∑ 1/k²  (Summe von k=1 bis ∞) natürlich schneller.