Polynomfunktion Ableitung induziert Abbildung, geordnete Basen, Smith-Normalform

Question

Aufgabe:

Für eine Polynomfunktion \( f \in Pol(\mathbb{R}), f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}\), heißt $$deg(f):=\begin{cases}max\{k \in \mathbb{N}_{0}|a_{k}\ne0\}&:f \ne 0\\-\infty&:f=0\end{cases}$$ der Grad von \(f\).

Zu zeigen/bestimmen:

a) Die Einschränkung der Ableitung induziert eine Abbildung \(d: Pol_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow Pol_{n}(\mathbb{R}) \). Bestimmen Sie auch \(D_{\mathfrak{B},\mathfrak{B}}(d)\).

b) Finden Sie geordnete Basen \(\mathfrak{C}_{1}, \mathfrak{C}_{2}\) von \(Pol_{n}(\mathbb{R})\), sodass \(D_{\mathfrak{C}_{1},\mathfrak{C}_{2}}(d)\) Smith-Normalform besitzt.

Kann hier jemand helfen? Bin mir schon beim Ansatz nicht sicher.

Comments

Was ich noch hinzufügen sollte:

Es gab noch folgende Aufgabe, die ich schon gelöst habe:

Zeigen Sie, dass \( Pol_{n}(\mathbb{R}) := \{ f \in Pol(\mathbb{R}) \space | \space  deg(f) \leq n\} \subseteq Pol(\mathbb{R})\) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum ist und bestimmen Sie eine geordnete Basis \(\mathfrak{B}\).