Integration von komplexem Bruch mit Substitution

Question

Ich versuche gerade eine Integration nachzuvollziehen:

\( \int \frac{2 \mathrm{ie}^{-\mathrm{i}(w-1) t}}{w-1} \mathrm{d} t \)

\( \text { Substituiere } u=-i(w-1) t \longrightarrow \frac{d u}{d t}=-i(w-1) \text { (Rechenweg) } \rightarrow dt =\frac{i}{w-1} \mathrm{d} u \\ =\int-\frac{2 e^{u}}{(w-1)^{2}} d u \\ =-\frac{2}{(w-1)^{2}} \int e^{u} d u \)

 
Problem/Ansatz:

Substitution etc. ist klar, aber - wie kommt der Ausdruck \( \int\limits_{}^{} \) -  \( \frac{2 e^u}{(w-1)^2} \)  du

ausgehend von \( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{2*i*e^u}{w-1} \)  dt   zustande?

Danke für einen Tipp!

Answer 1

Substitution etc. ist klar, aber - wie kommt der Ausdruck \( \int\limits_{}^{} \) -  \( \frac{2 e^u}{(w-1)^2} \)  du

ausgehend von \( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{2*i*e^u}{w-1} \)  dt  zustande?

Du musst ja nicht bloss ersetzen sondern auch du durch einen Term mit Bruch ersetzen.

Danach die beiden Brüche miteinander multiplizieren. Daher z.B. unten (w-1)^2  und oben i * i = -1. Daher das Minus vor dem Bruch.

Comments

Also 

Text erkannt:

\( \mathrm{d} t=\frac{i}{w-1} \mathrm{d} u \)

D.h. es ist * , richtig?

Text erkannt:

\( \frac{\mathbf{i}}{w-\mathbf{1}} \mathrm{d} \boldsymbol{u} \)

Text erkannt:

\( \int \frac{2 \mathrm{ie}^{-\mathrm{i}(\mathrm{w}-1) t}}{w-1} \)

 Aber wie wird daraus ?

Text erkannt:

\( \int-\frac{2 e^{u}}{(w-1)^{2}} d u \)

---

Du musst auch substituieren.

Nicht:

Sondern eher: \( \int \dfrac{2 \mathrm{ie}^{u}}{w-1}, \dfrac{\mathrm{i}}{w-1} \mathrm{d} u \)

und nun noch die beschriebene Bruchmultiplikation.

Answer 2

Hallo

 wenn Du  dt einsetzt um auf du zu kommen  steht doch ein Faktor w-1 im Nenner , der mit dem schon vorhandenen multipliziert gibt das Quadrat, das minus entsteht durch i*i=-1 ( benutzt 1/(-i)=i

grüß lul

Answer 3

Hallo,

wenn Du das dt  in der Aufgabe durch dt= (i du)/(w-1) ersetzt, kommst Du auf den Ausdruck