Definitheit einer Matrix mittels Skalarprodukt bestimmen?

Question

Für die Matrix:
$$\begin{pmatrix} -6x & 6y \\ 6y & 6x \end{pmatrix}$$

Würde ich gerne bestimmen, ob der Punkt (0,2) ein lokales Extrema ist.

Dieser ist eine Nullstelle für den Gradienten. Über die Eigenwerte der Matrizen (12 und -12 wenn ich mich nicht verrechnet habe) bin ich darauf gekommen, dass die Matrix indefinit ist und somit dieser Punkt kein lokales Extrema ist.

Wie würde ich nun aber vorgehen, wenn ich die Definitheit mithilfe des Skalarprodukts bestimmen möchte?

Dabei weiß ich, für welche Fälle die Matrix wie definit ist, aber nicht wie ich diese errechne. Ist es überhaupt möglich dies mithilfe der Definition von Definitheit über das Skalarprodukt zu erreichen?

Comments

Wenn \(A\) symmetrisch und positiv definit ist, dann wird durch \(\langle x,y\rangle =x^T Ay \) ein Skalarprodukt definiert. Mir sind nur die Eigenwertmethode und die über Hauptminoren bekannt.

Answer 1

Eine symmetrische Matrix ist indefinit wenn \( x^T A x \) Werte größer und kleiner Null annimmt. Bei Dir gilt

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 12 \\ 12 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 24 x y   $$ Und dieser Ausdruck kann positiv oder negativ werden. Also ist die Matrix indefinit.