Beweise oder Widerlege: (A \ B) × (A \ C) = (A × A) \ (B × C)

Question

Beweise oder widerlege die folgende Aussage über Mengen:

(A \ B) × (A \ C) = (A × A) \ (B × C)

Answer 1

Wähle als Gegenbeispiel \(A = B = \{1\},\: C = \varnothing\).

Comments

Bitte nicht falsch verstehen, aber so wirklich kann ich mit der Antwort nichts anfangen, vll kannst du mir da nochmal etwas mehr zeigen.

Ich habe es mal mit den Mengenverknüpfungen so probiert, kann aber auch falsch sein:

( A \ B ) x ( A \ C ) = ( A x A ) \ (B x C )

Weiter A x B = { (x,y) : x∈A ∧ y∈B }

( A \ B ) x ( A \ C ) = {(x,y) : x∈ A\B ∧ y∈ A\C}

                             = {(x,y) : x∈A ∧ x∉B ∧ y∈A ∧ y∉C}

                             = {(x,y) : (x,y)∈ AxA ∧ (x,y)∉ BxC}

                             = ( A x A ) \ (B x C)

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Ich widerlege die Aussage, in dem ich ein Gegenbeispiel (indirekter Beweis) angebe, das erscheint mir leichter, als die Teilaussagen umzuformen:

Ich nehme an, dass die Aussage wahr ist:

A \ B = ∅
A \ C = {1}
A x A = {(1,1)}
B x C = ∅

⇒ (A \ B) × (A \ C) = (A × A) \ (B × C)  
⇒  ∅ x {1} = {(1,1)} \ ∅  
⇒  ∅ = {(1,1)}

Es kommt zu einem Widerspruch.